Exercício 13 Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais abaixo:
y^prime prime+y=cosec(t);

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' + y = csc(t)
O conteúdo aqui é resolver uma equação linear com coeficientes constantes usando o método da variação de parâmetros. Primeiro vamos achar a solução geral da homogênea associada e depois um particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = pm i. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = Acos t + Bsin t,
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, tomamos como solução fundamental
y1(t)=cos t, y2(t)=sin t
O wronskiano é
W = cos t & sin t -sin t & cos t = cos^2 t + sin^2 t = 1
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'(t) = -,y2(t),csc(t)W = -sin tcdotcsc t = -1,
u2'(t) = y1(t),csc(t)W = cos tcdotcsc t = cot t

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t) = integral -1,dt = -t,
u2(t) = integral cot t,dt = lnl|sin tr|
O particular é
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t) = -tcos t + sin t,lnl|sin tr|

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com o particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = Acos t + Bsin t - tcos t + sin t,lnl|sin tr|

Resposta

y(t) = Acos t + Bsin t - tcos t + sin t,lnl|sin tr|

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