Exercício 13 Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais abaixo: ;
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
O conteúdo aqui é resolver uma equação linear com coeficientes constantes usando o método da variação de parâmetros. Primeiro vamos achar a solução geral da homogênea associada e depois um particular por variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é , com raízes . Logo a solução geral da homogênea é
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, tomamos como solução fundamental
O wronskiano é
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'(t) = -,y2(t),csc(t)W = -sin tcdotcsc t = -1,
u2'(t) = y1(t),csc(t)W = cos tcdotcsc t = cot t
Passo 4
Integramos para obter u1 e u2:
u1(t) = integral -1,dt = -t,
u2(t) = integral cot t,dt = lnl|sin tr|
O particular é
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t) = -tcos t + sin t,lnl|sin tr|
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com o particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = Acos t + Bsin t - tcos t + sin t,lnl|sin tr|
Resposta
y(t) = Acos t + Bsin t - tcos t + sin t,lnl|sin tr|