2.5 Converta os seguintes vetores para os sistemas cilíndrico e esférico:
F=x ax+y ay+4 azraizx^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede para converter o campo vetorial
F=x,ax+y,ay+4,azraizx^2+y^2+z^2
para coordenadas cilíndricas (rho,phi,z) e para coordenadas esféricas (r,theta,phi).
Conteúdo: transformação de base vetorial e mudança de variáveis.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos
x=rhocosphi, y=rhosinphi, z=z, raizx^2+y^2+z^2=raizrho^2+z^2,
Logo
F =rhocosphi,ax+rhosinphi,ay+4,az raizrho^2+z^2,

Passo 3

Agora escrevemos ax e ay em função de arho e aphi:
ax=cosphi,arho-sinphi,aphi, ay=sinphi,arho+cosphi,aphi
Substituindo no numerador:
rhocosphi,ax+rhosinphi,ay =rho(cos^2phi+sin^2phi),arho =rho,arho,
e não há componente em aphi. Assim
F =rho,arho+4,azraizrho^2+z^2 =rhoraizrho^2+z^2,arho +4raizrho^2+z^2,az

Passo 4

Em coordenadas esféricas usamos
x=rsinthetacosphi,; y=rsinthetasinphi,; z=rcostheta,; raizx^2+y^2+z^2=r,
então
F =rsinthetacosphi,ax +rsinthetasinphi,ay +4,azr

Passo 5

Expressamos ax,ay,az na base esférica:
ax =sinthetacosphi,ar +costhetacosphi,atheta -sinphi,aphi,
ay =sinthetasinphi,ar +costhetasinphi,atheta +cosphi,aphi,
az =costheta,ar -sintheta,atheta
Calculando componente a componente:
  • Componente ar: rsinthetacosphicdotsinthetacosphi + rsinthetasinphicdotsinthetasinphi +4costheta =rsin^2theta+4costheta
  • Componente atheta: rsinthetacosphicdotcosthetacosphi + rsinthetasinphicdotcosthetasinphi -4sintheta =rsinthetacostheta-4sintheta =sintheta,(rcostheta-4)
  • Componente aphi fica zero.
    Dividindo tudo por r, obtemos
F =l(sin^2theta+4rcosthetar)ar +sinthetal(costheta-4rr)atheta

Resposta

Cilíndrico:
F =rhoraizrho^2+z^2,arho +4raizrho^2+z^2,az
Esférico:
F =l(sin^2theta+4rcosthetar)ar +sinthetal(costheta-4rr)atheta

Exercícios relacionados