Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado: é o caminho que liga a origem ao ponto , através de três segmentos retilíneos: o primeiro uma porção do eixo , o segundo paralelo ao eixo e o terceiro paralelo ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral de linha ao longo de um caminho que vai da origem até o ponto . Esse caminho é dividido em três segmentos retilíneos: primeiro seguindo o eixo , depois paralelo ao eixo e, por fim, paralelo ao eixo . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar cada segmento e calcular a integral em cada um deles.
Passo 2
Vamos parametrizar o primeiro segmento, que vai da origem até ao longo do eixo . Aqui, e permanecem constantes em 0. Usamos uma variável que varia de 0 a 2 para representar :
Passo 3
Agora, vamos expressar os diferenciais dx = dt, dy = 0, dz = 0 para essa parametrização:
Passo 4
Substituímos integralC1 (x + y + z) dx + (x - 2y + 3z) dy + (2x + y - z) dz = integral0^2 (t + 0 + 0) dt + 0 + 0 = integral0^2 t , dt e os diferenciais na integral para o primeiro segmento:
Passo 5
Calculamos a integral do primeiro segmento:
integral0^2 t , dt = [ t^22 ]0^2 = 42 - 0 = 2
Passo 6
Vamos para o segundo segmento, que vai de x = 2 y = t z = 0 , t in [0, 3] até paralelo ao eixo . Aqui, permanece 2 e permanece 0. Usamos uma variável que varia de 0 a 3 para representar :
Passo 7
Expressamos os diferenciais para o segundo segmento:
dx = 0, dy = dt, dz = 0
Passo 8
Substituímos integralC2 (x + y + z) dx + (x - 2y + 3z) dy + (2x + y - z) dz = integral0^3 (2 + t + 0) cdot 0 + (2 - 2t + 0) dt + 0 = integral0^3 (2 - 2t) , dt e os diferenciais na integral para o segundo segmento:
Finalmente, parametrizamos o terceiro segmento, que vai de x = 2 y = 3 z = t , t in [0, 4] até paralelo ao eixo . Aqui, permanece 2 e permanece 3. Usamos uma variável que varia de 0 a 4 para representar :
Passo 11
Expressamos os diferenciais para o terceiro segmento:
dx = 0, dy = 0, dz = dt
Passo 12
Substituímos integralC3 (x + y + z) dx + (x - 2y + 3z) dy + (2x + y - z) dz = integral0^4 (2 + 3 + t) cdot 0 + (2 - 6 + 3t) cdot 0 + (4 + 3 - t) dt = integral0^4 (7 - t) , dt e os diferenciais na integral para o terceiro segmento: