Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
integralC(x+y+z) d x+(x-2 y+3 z) d y+(2 x+y-z) d z ; C é o caminho que liga a origem ao ponto A(2,3,4), através de três segmentos retilíneos: o primeiro uma porção do eixo x, o segundo paralelo ao eixo y e o terceiro paralelo ao eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral de linha ao longo de um caminho que vai da origem até o ponto . Esse caminho é dividido em três segmentos retilíneos: primeiro seguindo o eixo , depois paralelo ao eixo e, por fim, paralelo ao eixo . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar cada segmento e calcular a integral em cada um deles.

Passo 2

Vamos parametrizar o primeiro segmento, que vai da origem x = t y = 0 z = 0 , t in [0, 2] até ao longo do eixo . Aqui, e permanecem constantes em 0. Usamos uma variável que varia de 0 a 2 para representar :

Passo 3

Agora, vamos expressar os diferenciais dx = dt, dy = 0, dz = 0 para essa parametrização:

Passo 4

Substituímos integralC1 (x + y + z) dx + (x - 2y + 3z) dy + (2x + y - z) dz = integral0^2 (t + 0 + 0) dt + 0 + 0 = integral0^2 t , dt e os diferenciais na integral para o primeiro segmento:

Passo 5

Calculamos a integral do primeiro segmento:
integral0^2 t , dt = [ t^22 ]0^2 = 42 - 0 = 2

Passo 6

Vamos para o segundo segmento, que vai de x = 2 y = t z = 0 , t in [0, 3] até paralelo ao eixo . Aqui, permanece 2 e permanece 0. Usamos uma variável que varia de 0 a 3 para representar :

Passo 7

Expressamos os diferenciais para o segundo segmento:
dx = 0, dy = dt, dz = 0

Passo 8

Substituímos integralC2 (x + y + z) dx + (x - 2y + 3z) dy + (2x + y - z) dz = integral0^3 (2 + t + 0) cdot 0 + (2 - 2t + 0) dt + 0 = integral0^3 (2 - 2t) , dt e os diferenciais na integral para o segundo segmento:

Passo 9

Calculamos a integral do segundo segmento:
integral0^3 (2 - 2t) , dt = [ 2t - t^2 ]0^3 = (6 - 9) - 0 = -3

Passo 10

Finalmente, parametrizamos o terceiro segmento, que vai de x = 2 y = 3 z = t , t in [0, 4] até paralelo ao eixo . Aqui, permanece 2 e permanece 3. Usamos uma variável que varia de 0 a 4 para representar :

Passo 11

Expressamos os diferenciais para o terceiro segmento:
dx = 0, dy = 0, dz = dt

Passo 12

Substituímos integralC3 (x + y + z) dx + (x - 2y + 3z) dy + (2x + y - z) dz = integral0^4 (2 + 3 + t) cdot 0 + (2 - 6 + 3t) cdot 0 + (4 + 3 - t) dt = integral0^4 (7 - t) , dt e os diferenciais na integral para o terceiro segmento:

Passo 13

Calculamos a integral do terceiro segmento:
integral0^4 (7 - t) , dt = [ 7t - t^22 ]0^4 = (28 - 8) - 0 = 20

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
2 + (-3) + 20 = 19
Portanto, o valor da integral de linha é 19.

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