Calcule a integral
onde
e
são dadas abaixo.
e
é o hemisfério superior da esfera
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos calcular
, onde
e
é o hemisfério superior da esfera de raio
. O conteúdo aqui é fluxo de campo vetorial, e podemos usar o Teorema da Divergência ou parametrização esférica.
Passo 2
Vamos usar o Teorema da Divergência: fechamos a superfície
com o disco plano
. Pelo teorema, o fluxo total sobre
é
. Calculamos
.
Passo 3
O volume do hemisfério de raio
é
. Logo, o fluxo sobre a superfície fechada é
Passo 4
Agora calculamos o fluxo pelo disco
: a normal é
e
, então
. Portanto
Passo 5
Concluímos que o fluxo sobre o hemisfério é a diferença:
Resposta
2\pi a^3