Calcule a integral integral duplaS F cdot n d S onde F e S são dadas abaixo.
F(x, y, z)=x i+y j+z k e S é o hemisfério superior da esfera x^2+ y^2+z^2=a^2.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular integral duplaSFcdotn,dS, onde F(x,y,z)=(x,y,z) e S é o hemisfério superior da esfera de raio a. O conteúdo aqui é fluxo de campo vetorial, e podemos usar o Teorema da Divergência ou parametrização esférica.

Passo 2

Vamos usar o Teorema da Divergência: fechamos a superfície S com o disco plano D: z=0, x^2+y^2<= a^2. Pelo teorema, o fluxo total sobre Scup D é integral triplaV(nablacdotF),dV. Calculamos nablacdotF = 1+1+1 = 3.

Passo 3

O volume do hemisfério de raio a é V=tfrac23pi a^3. Logo, o fluxo sobre a superfície fechada é
FluxoScup D = 3 cdot 23pi a^3 = 2pi a^3

Passo 4

Agora calculamos o fluxo pelo disco D: a normal é (0,0,-1) e F(x,y,0)=(x,y,0), então Fcdotn=0. Portanto
FluxoD = 0

Passo 5

Concluímos que o fluxo sobre o hemisfério é a diferença:
FluxoS = FluxoScup D - FluxoD = 2pi a^3 - 0 = 2pi a^3

Resposta

2\pi a^3

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