Encontre o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-x:
y=raizx, x=1, x=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo-x a região limitada pela curva y=√x e pelas retas x=1 e x=4. O conteúdo aqui é volume de revolução e vamos precisar do método dos discos (ou fatias) para integrar áreas de círculos.

Passo 2

No método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo-x, de espessura dx, gera um disco de raio R(x)=y. A área desse disco é A(x)=π[R(x)]². Assim, o volume é dado por
V = pi integrala^b [R(x)]^2 ,dx
onde a=1 e b=4.

Passo 3

Identificamos o raio do disco: R(x)=y=\sqrt{x}. Logo, [R(x)]²=x. Substituindo na fórmula de volume, temos
V = pi integral1^4 x ,dx

Passo 4

Agora calculamos a integral:
integral1^4 x ,dx = x^22 |1^4 = 4^22 - 1^22 = 162 - 12 = 152

Passo 5

Multiplicando pelo π concluímos que o volume do sólido é V=π·(15/2).

Resposta

tfrac15pi2

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