Calcule integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(x^3, y^3, z) e S é a superfície do sólido obtido pela interseção do paraboloide z=x^2+y^2 e do plano z=1. Considere a normal exterior a S.

Passo 1

O exercício pede para calcular o fluxo integral dupla Svec Fcdot dvec S, onde vec F=(x^3,y^3,z) e S é a superfície fechada do sólido limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=1. Vamos usar o Teorema da Divergência e coordenadas cilíndricas para resolver.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Divergência, primeiro calculamos nablacdotvec F:
nablacdotvec F = partialpartial x(x^3) + partialpartial y(y^3) + partialpartial z(z) = 3x^2 + 3y^2 + 1

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo pela superfície fechada S é igual ao volume integral de nablacdotvec F sobre o interior V:
integral dupla Svec Fcdot dvec S = integral triplaV (3x^2 + 3y^2 + 1),dV

Passo 4

Para montar esse integral em coordenadas cilíndricas, usamos:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z, dV = r,dr,dtheta,dz, e na região V temos
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= 1, r^2 <= z <= 1 Além disso,
3x^2+3y^2+1 = 3r^2 + 1

Passo 5

Agora fazemos a integral em z:
integral triplaV (3r^2+1),r,dz,dr,dtheta = integral0^2pi!integral0^1!integralz=r^2^1(3r^2+1),r,dz,dr,dtheta Integrando em z primeiro:
integralz=r^2^1(3r^2+1),r,dz = (3r^2+1),r,(1 - r^2)

Passo 6

A integral fica então
integral0^2pi!integral0^1(3r^2+1),r,(1 - r^2),dr,dtheta Simplificando o integrando em r:
(3r^2+1),r,(1 - r^2) = 2r^3 + r - 3r^5

Passo 7

Como não há theta no integrando, a parte de theta só dá 2pi. Resta calcular
integral0^1(2r^3 + r - 3r^5),dr = 2cdot14 + 12 - 3cdot16 = tfrac12 + tfrac12 - tfrac12 = tfrac12 Multiplicando por 2pi resulta
2pi cdot tfrac12 = pi

Resposta

pi

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