Calcule
, onde
e
é a superfície do sólido obtido pela interseção do paraboloide
e do plano
. Considere a normal exterior a
.
Passo 1
O exercício pede para calcular o fluxo
, onde
e
é a superfície fechada do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
. Vamos usar o Teorema da Divergência e coordenadas cilíndricas para resolver.
Passo 2
Para aplicar o Teorema da Divergência, primeiro calculamos
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo pela superfície fechada
é igual ao volume integral de
sobre o interior
:
Passo 4
Para montar esse integral em coordenadas cilíndricas, usamos:
Passo 5
Agora fazemos a integral em
:
Passo 6
A integral fica então
Passo 7
Como não há
no integrando, a parte de
só dá
. Resta calcular