Calcule ointC(-4 y^2-1) d x-2 z^2 d y+(2-2 x^2) d z, onde C é o contorno do triângulo obtido pela interseção do plano z=2-2 x-y com o planos coordenados. A orientação de C é no sentido anti-horário quando visto de cima.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
ointCl(-4y^2-1r),dx ;-;2z^2,dy;+;l(2-2x^2r),dz,
onde C é o contorno do triângulo obtido pela interseção do plano z=2-2x-y com os planos coordenados, orientado no sentido anti-horário visto de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de linha numa integral de superfície do rotor do campo F=(P,Q,R).

Passo 2

Definimos
P=-4y^2-1, Q=-2z^2, R=2-2x^2
O rotor de F é
nablatimesF = partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial y =(4z,;4x,;8y)

Passo 3

Parametrizamos a superfície S como gráfico de z=f(x,y)=2-2x-y sobre a região D no plano xy. A normal não unitária orientada para cima é
N = (-fx,,-fy,,1) = (2,,1,,1),
já que fx=-2, fy=-1 e Nz=1>0, conforme a orientação dada.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
ointCFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdot n,dS =integral duplaD(nablatimesF)(x,y,2-2x-y)cdot N,dA
Em cada ponto,
(nablatimesF)(x,y,2-2x-y)=(8-8x-4y,;4x,;8y),
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(nablatimesF)cdot N =2(8-8x-4y)+1cdot4x+1cdot8y =16-12x
O domínio projetado é o triângulo
D=l(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=2-2xr

Passo 5

Fica então
integral duplaD(16-12x),dA =integral0^1!integral0^2-2x(16-12x),dy,dx =integral0^1(16-12x)(2-2x),dx
Expandindo,
(16-12x)(2-2x)=32-56x+24x^2,
e
integral0^1(32-56x+24x^2),dx =l[32x-28x^2+8x^3r]0^1 =32-28+8 =12

Resposta

12

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