Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
oint|z-1|=2 e^i z d zpi-2 z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
oint|z-1|=2 e^i zpi - 2 z,dz
usando a fórmula integral de Cauchy. O contorno é o círculo |z-1|=2 orientado anti-horário. Para aplicar o teorema, precisamos escrever o integrando na forma f(z)z - z0 e identificar z0.

Passo 2

Reescrevendo o denominador temos
pi - 2z = -2l(z - tfracpi2r),
então
e^i zpi - 2 z = e^i z-2,(z - tfracpi2) = -12,e^i zz - tfracpi2

Passo 3

O único pólo simples está em z0=tfracpi2. Verificamos que
l|tfracpi2-1r|approx0,57<2,
logo z0 está dentro do círculo |z-1|=2.

Passo 4

Pela fórmula integral de Cauchy, para um pólo simples em z0,
oint f(z)z - z0,dz = 2pi i,f(z0)
Aqui f(z)=e^i z e há ainda o fator -tfrac12. Logo
oint|z-1|=2e^i zpi - 2 z,dz = -tfrac12cdot2pi i;e^,i(pi/2) = -pi i;e^,ipi/2
Como e^,ipi/2=i, obtemos
-pi icdot i = -pi,i^2 = pi

Resposta

pi

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