Calcule
onde
e
é a parte de
com
e
orientada com normal unitário
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do fluxo do campo vetorial
através da parte de superfície
limitada por
,
,
e orientada para cima (isto é,
). O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial. Vamos precisar parametrizar S e usar produto vetorial para obter
.
Passo 2
Parametrizamos S por
com domínio
Em seguida, calculamos as derivadas parciais:
O vetor normal orientado para cima vem de
pois seu componente
é positivo.
Passo 3
Sobre a superfície,
avaliado em
é
Fazendo o produto escalar com o vetor normal:
Passo 4
O fluxo é então a integral dupla
com
o triângulo
,
.
Passo 5
Calculamos:
Em
:
Em
:
Resposta
4