Calcule integral duplaS F cdot N d S onde F(x, y, z)=(1, cos y, 3 x+2 y) e S é a parte de z=x^2 com x >= 0, y >= 0 e x+y <= 2 orientada com normal unitário N tal que N cdot k>0.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do fluxo do campo vetorial vec F(x,y,z)=(1,cos y,3x+2y) através da parte de superfície S:,z=x^2 limitada por x>=0, y>=0, x+y<=2 e orientada para cima (isto é, vec Ncdotvec k>0). O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial. Vamos precisar parametrizar S e usar produto vetorial para obter dvec S.

Passo 2

Parametrizamos S por
vec r(x,y)=(x,y,x^2),
com domínio
D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=2
Em seguida, calculamos as derivadas parciais:
vec rx=(1,0,2x),
vec ry=(0,1,0)
O vetor normal orientado para cima vem de
vec rxtimesvec ry=(-2x,0,1),
pois seu componente z é positivo.

Passo 3

Sobre a superfície, vec F avaliado em vec r(x,y) é
vec F(vec r(x,y))=(1,cos y,3x+2y)
Fazendo o produto escalar com o vetor normal:
vec Fcdot(vec rxtimesvec ry) = (1,cos y,3x+2y)cdot(-2x,0,1) = -2x + (3x+2y) = x + 2y

Passo 4

O fluxo é então a integral dupla
integral duplaSvec Fcdotvec N,dS = integral duplaD (x+2y),dA,
com D o triângulo 0<= y<=2-x, 0<= x<=2.

Passo 5

Calculamos:
integralx=0^2integraly=0^2-x(x+2y),dy,dx
Em y:
integral0^2-x(x+2y)dy = x(2-x) + (2-x)^2 = 2x - x^2 + 4 -4x + x^2 = 4 - 2x
Em x:
integral0^2(4-2x)dx = [4x - x^2]0^2 = 8 - 4 = 4

Resposta

4

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