Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)). Se divergir, justifique:
\sum_{n=1}^{\infty} 8\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
\sum_{n=1}^{\infty} 8\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
Passo 1
O enunciado pede pra gente analisar a série
O conteúdo aqui é série geométrica e vamos usar a forma geral e o critério de convergência de séries geométricas.
Passo 2
Note que essa soma é uma série geométrica com primeiro termo
(quando
temos
) e razão
(cada termo é obtido multiplicando o anterior por
).
Passo 3
O critério de convergência para séries geométricas diz que se
então a série converge. Aqui
, logo nossa série converge.
Passo 4
Para séries geométricas convergentes, a soma é dada por
Passo 5
Basta substituir
e
na fórmula:
Substituindo, temos
Substituindo, temos
Resposta
A série converge e sua soma é 16.