Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)). Se divergir, justifique:
\sum_{n=1}^{\infty} 8\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar a série sumn=1^infty8l(tfrac12r)^n-1 O conteúdo aqui é série geométrica e vamos usar a forma geral e o critério de convergência de séries geométricas.

Passo 2

Note que essa soma é uma série geométrica com primeiro termo a1=8 (quando n=1 temos 8(1/2)^0=8) e razão r=1/2 (cada termo é obtido multiplicando o anterior por 1/2).

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas diz que se |r|<1 então a série converge. Aqui |r|=1/2<1, logo nossa série converge.

Passo 4

Para séries geométricas convergentes, a soma é dada por
S=a11-r

Passo 5

Basta substituir a1=8 e r=1/2 na fórmula:
Substituindo, temos
S=81-tfrac12=8tfrac12=16

Resposta

A série converge e sua soma é 16.

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