1. Sejam V(x, y)=x^2+y^2 e F(x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j, com P e Q continuas em R^2, tais que, para todo (x, y) neq(0,0), nabla V(x, y) cdot F(x, y)<0.
    a) Prove que g(t)=V(gamma(t)) é estritamente decrescente em [0,+infty[. Interprete geometricamente.
    b) Sejam T, r e R, com T>0 e r<R, reais dados. Suponha que r <=|gamma(t)| <= R para todo t em [ 0, T ]. Seja M o valor máximo de f(x, y)=nabla V(x, y) cdot F(x, y) na coroa r^2 >= x^2+y^2 >= R^2. (Tal M existe, pois f é continua e a coroa um conjunto compacto.) Prove que, para todo t em[0, T],
integral0^t nabla V(gamma(t)) cdot gamma^prime(t) d t <= M t
e, portanto, para todo t em [0, T],
V(gamma(t))-V(gamma(0)) <= M t
c) Utilizando a última desigualdade do item b e observando que M<0, prove que gamma(t) não pode permanecer na coroa r^2 <= x^2+y^2 <= R^2 para todo t >= 0.
d) Prove que lim t +infty V(gamma(t)) existe e é zero.
e) Prove que lim t +infty gamma(t)=(0,0). Interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado trata da função de energia
V(x,y)=x^2+y^2
e de uma trajetória gamma(t) satisfazendo gamma'(t)=vec F(gamma(t)), com
nabla V(x,y)cdotvec F(x,y)<0para (x,y)neq(0,0)
Precisamos mostrar que g(t)=V(gamma(t)) decresce estritamente, obter estimativas integrando nabla Vcdotgamma', usar compacticidade para evitar permanência em corona, e finalmente provar que gamma(t)to(0,0).

Passo 2

Calculamos a derivada de g(t). Como g(t)=V(gamma(t)), pelo teorema da cadeia
g'(t) =nabla V(gamma(t))cdotgamma'(t) =nabla V(gamma(t))cdotvec F(gamma(t))<0
sempre que gamma(t)neq(0,0). Logo g é estritamente decrescente. Geometricamente, V=x^2+y^2 é o quadrado da distância ao origen, então a trajetória aproxima-se continuamente do origen.

Passo 3

Fixando T>0 e um anel compacto r<=|gamma(t)|<= R em [0,T], a função
f(x,y)=nabla V(x,y)cdotvec F(x,y)
é contínua nesse anel, logo atinge um máximo M. Como nabla V(gamma(t))cdotgamma'(t)<= M em [0,T], integra-se:
integral0^tnabla V(gamma(s))cdotgamma'(s),ds<= integral0^t M,ds = Mt
Pelo teorema fundamental do cálculo,
V(gamma(t))-V(gamma(0)) =integral0^tnabla V(gamma(s))cdotgamma'(s),ds<= Mt

Passo 4

Se M<0 e admitíssemos que gamma(t) permanece para sempre no anel r<=|gamma(t)|<= R, então
V(gamma(t))<= V(gamma(0))+Mt
tornar-se-ia negativo para t suficientemente grande, o que é impossível pois V>= r^2>0. Logo a trajetória não pode ficar eternamente naquele anel.

Passo 5

Como g(t)=V(gamma(t)) é decrescente e limitada inferiormente por 0, existe
L=limtto+inftyg(t)>=0
Se L>0, então para t grande teríamos |gamma(t)|^2=g(t)>= L>0, o que colocaria a trajetória dentro de um anel de raio mínimo raiz L>0 para todo t, contradizendo o resultado do Passo 4. Logo L=0.

Passo 6

De g(t)=|gamma(t)|^2to0 segue |gamma(t)|to0, ou seja,
limtto+inftygamma(t)=(0,0)
Geometricamente, a trajetória escoa sempre numa direção em que a energia (distância ao origen) diminui até convergir ao equilibrio no origen.

Resposta

(a) g'(t)=nabla V(gamma(t))cdotgamma'(t)<0, logo g é estritamente decrescente. Geometricamente, a distância ao origen diminui ao longo da trajetória.
(b) Pelo máximo M de nabla Vcdot F no anel,
integral0^tnabla V(gamma)cdotgamma',ds<= Mt
e
V(gamma(t))-V(gamma(0))<= Mt.
(c) Se M<0, então V(gamma(t))<= V(gamma(0))+Mt ficaria negativa para t grande, contradizendo V>= r^2>0. Assim, gamma não permanece no anel para todo t.
(d) Como g é decrescente e limitada, limttoinftyg(t) existe. Se fosse >0, gamma ficaria num anel, contradizendo (c). Logo o limite é 0.
(e) De V(gamma(t))=|gamma(t)|^2to0 segue gamma(t)to(0,0). Geometricamente, toda curva integral de vec F converge ao equilibrio no origen.

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