- Sejam
e
, com
e
continuas em
, tais que, para todo
.
a) Prove que
é estritamente decrescente em
. Interprete geometricamente.
b) Sejam
e
, com
e
, reais dados. Suponha que
para todo
em [
]. Seja
o valor máximo de
na coroa
. (Tal
existe, pois
é continua e a coroa um conjunto compacto.) Prove que, para todo
,
e, portanto, para todo
em
,
c) Utilizando a última desigualdade do item
e observando que
, prove que
não pode permanecer na coroa
para todo
.
d) Prove que
existe e é zero.
e) Prove que
. Interprete geometricamente.
a) Prove que
b) Sejam
d) Prove que
e) Prove que
Passo 1
O enunciado trata da função de energia
e de uma trajetória
satisfazendo
, com
Precisamos mostrar que
decresce estritamente, obter estimativas integrando
, usar compacticidade para evitar permanência em corona, e finalmente provar que
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Como
, pelo teorema da cadeia
sempre que
. Logo
é estritamente decrescente. Geometricamente,
é o quadrado da distância ao origen, então a trajetória aproxima-se continuamente do origen.
Passo 3
Fixando
e um anel compacto
em
, a função
é contínua nesse anel, logo atinge um máximo
. Como
em
, integra-se:
Pelo teorema fundamental do cálculo,
Passo 4
Se
e admitíssemos que
permanece para sempre no anel
, então
tornar-se-ia negativo para
suficientemente grande, o que é impossível pois
. Logo a trajetória não pode ficar eternamente naquele anel.
Passo 5
Como
é decrescente e limitada inferiormente por
, existe
Se
, então para
grande teríamos
, o que colocaria a trajetória dentro de um anel de raio mínimo
para todo
, contradizendo o resultado do Passo 4. Logo
.
Passo 6
De
segue
, ou seja,
Geometricamente, a trajetória escoa sempre numa direção em que a energia (distância ao origen) diminui até convergir ao equilibrio no origen.
Resposta
(a)
, logo
é estritamente decrescente. Geometricamente, a distância ao origen diminui ao longo da trajetória.
(b) Pelo máximo
de
no anel,
e
.
e
(c) Se
, então
ficaria negativa para
grande, contradizendo
. Assim,
não permanece no anel para todo
.
(d) Como
é decrescente e limitada,
existe. Se fosse
,
ficaria num anel, contradizendo (c). Logo o limite é 0.
(e) De
segue
. Geometricamente, toda curva integral de
converge ao equilibrio no origen.