Calcule integral duplaS f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=z^2, S a porção do cilindro x^2+y^2=4, para y >= 0, compreendida entre os planos z=0 e z=x+3.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
integral duplaS f(x,y,z),ds,
onde f(x,y,z)=z^2 e S é a porção do cilindro x^2+y^2=4 com y>=0, limitada pelos planos z=0 e z=x+3.
Aqui vamos parametrizar o cilindro em coordenadas cilíndricas (com raio fixo) e usar a fórmula
ds = llvert rtheta times rzrrvert dtheta,dz

Passo 2

Parametrizamos S por
r(theta,z) = l(2costheta,;2sintheta,;zr),
com thetain[0,pi] (pois y=2sintheta>=0) e z variando de 0 até x+3=2costheta+3.
Calculamos
rtheta = (-2sintheta,;2costheta,;0), rz = (0,0,1),
rthetatimes rz = (2costheta,;2sintheta,;0), llvert rthetatimes rzrrvert = 2
Logo ds=2,dtheta,dz.

Passo 3

Usando a parametrização, a integral vira
integral duplaS z^2,ds = integraltheta=0^pi!integralz=0^2costheta+3 z^2;l(2,dz,dthetar) =2integral0^pi!integral0^2costheta+3 z^2,dz,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^2costheta+3 z^2,dz = l[tfrac13z^3r]0^2costheta+3 = tfrac13(2costheta+3)^3
Então
2integral0^pi!integral0^2costheta+3 z^2,dz,dtheta = tfrac23integral0^pi(2costheta+3)^3,dtheta

Passo 5

Expandindo (2costheta+3)^3:
(2costheta+3)^3 =8cos^3theta +36cos^2theta +54costheta +27
Como integral0^picostheta,dtheta=0 e integral0^picos^3theta,dtheta=0, e integral0^picos^2theta,dtheta=tfracpi2, integral0^pi1,dtheta=pi, obtemos
integral0^pi(2costheta+3)^3,dtheta =36cdottfracpi2 +27pi =18pi+27pi=45pi
Multiplicando pelo fator tfrac23
tfrac23cdot45pi =30pi

Resposta

30pi

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