Um objeto de madeira com a forma de um cilindro de 3 cm de diâmetro e de 30 cm de altura é posto na lixadeira e seu diâmetro, reduzido a
. Utilize diferencial para estimar o volume do material resultante após ser posto na lixadeira. Qual o erro cometido nesse cálculo?
Passo 1
O enunciado dá um cilindro de madeira com diâmetro inicial
e altura
. Após lixar, o diâmetro passa a
. Queremos usar diferenciais para estimar o volume final e depois calcular o erro dessa aproximação. O conteúdo necessário é cálculo de diferenciais aplicado à função volume de um cilindro
onde
é o raio e
é a altura constante.
Passo 2
Definimos o raio inicial
e a variação do raio
A diferencial do volume é
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 3
A estimativa do volume final fica
Passo 4
Para avaliar o erro, calculamos a variação exata
Já sabemos
e
. Logo
O volume exato final é
Passo 5
O erro da aproximação por diferencial é
Resposta
Volume aproximado:
Erro cometido na aproximação: