Um objeto de madeira com a forma de um cilindro de 3 cm de diâmetro e de 30 cm de altura é posto na lixadeira e seu diâmetro, reduzido a 2,95 cm. Utilize diferencial para estimar o volume do material resultante após ser posto na lixadeira. Qual o erro cometido nesse cálculo?

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de madeira com diâmetro inicial ,3 cm e altura ,30 cm. Após lixar, o diâmetro passa a ,2,95 cm. Queremos usar diferenciais para estimar o volume final e depois calcular o erro dessa aproximação. O conteúdo necessário é cálculo de diferenciais aplicado à função volume de um cilindro
V(r)=pi r^2h,
onde r é o raio e h é a altura constante.

Passo 2

Definimos o raio inicial
r= tfrac32=1,5 cm,
e a variação do raio
De<a r = 2,952-1,5 =1,475-1,5 = -0,025 cm
A diferencial do volume é
dV = dVdr,dr = 2pi r h,dr
Substituindo r=1,5, h=30 e dr=De<a r=-0,025, obtemos
dV = 2picdot1,5cdot30cdot(-0,025) = -2,25pi cm^3

Passo 3

A estimativa do volume final fica
Vaprox = V(r)+dV = pi(1,5)^2cdot30 ;+;(-2,25pi) = 67,5pi -2,25pi =65,25pi cm^3

Passo 4

Para avaliar o erro, calculamos a variação exata
De<a V = V(r+De<a r)-V(r) =pi hl((r+De<a r)^2-r^2r) =pi hl(2r,De<a r +(De<a r)^2r)
Já sabemos 2r,De<a r=-2,25 e (De<a r)^2=0,000625. Logo
De<a V = picdot30l(-0,025cdot2cdot1,5 +0,000625r) = pil(-2,25 +0,01875r) =-2,23125pi cm^3
O volume exato final é
Vexato =67,5pi -2,23125pi=65,26875pi cm^3

Passo 5

O erro da aproximação por diferencial é
l|De<a V - dVr| = l|-2,23125pi -(-2,25pi)r| =0,01875pi cm^3 approx0,059 cm^3

Resposta

Volume aproximado:
Vaprox =65,25pi cm^3approx205,1 cm^3
Erro cometido na aproximação:
0,01875pi cm^3approx0,059 cm^3

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