Calcule a integral iterada.
ok (2) integral0^1 integral0^z integral0^x+z 6 x z d y d x d z
ok (b) integral0^3 integral0^1 integral0^raiz1-z^2 z e^y d x d z d y

Passo 1

Para a integral
integral0^1integral0^zintegral0^x+z6,x,z,dy,dx,dz
vamos usar integração iterada em ordem yto xto z.

Passo 2

Integro primeiro em y, com x e z fixos:
integral0^x+z6,x,z,dy =6,x,z;l[yr]0^x+z =6,x,z,(x+z)

Passo 3

Agora integro em x de 0 a z:
integral0^z6,x,z,(x+z),dx =integral0^z(6x^2z+6x z^2),dx
Calculo cada termo:
integral0^z6x^2z,dx =6zcdotz^33 =2z^4, integral0^z6x z^2,dx =6z^2cdotz^22 =3z^4
Somando, obtemos 5z^4.

Passo 4

Por fim integro em z de 0 a 1:
integral0^15z^4,dz =5cdot15 =1
Logo o valor da primeira integral é 1.

Passo 5

Para a segunda integral
integral0^3integral0^1integral0^raiz1-z^2z,e^y,dx,dz,dy
usamos integração iterada em ordem xto zto y.

Passo 6

Integro em x de 0 a raiz1-z^2, tratando z e y como constantes:
integral0^raiz1-z^2z,e^y,dx =z,e^y;l[xr]0^raiz1-z^2 =z,e^y,raiz1-z^2

Passo 7

Agora integro em z de 0 a 1, com e^y constante:
integral0^1z,raiz1-z^2,e^y,dz =e^yintegral0^1zraiz1-z^2,dz
Faço a substituição u=1-z^2, du=-2z,dz, limites u(0)=1, u(1)=0:
integral0^1zraiz1-z^2,dz =integral1^0raizu,l(-tfracdu2r) =tfrac12integral0^1u^1/2du =tfrac12cdottfrac23 =tfrac13
Logo essa parte vale tfrac13e^y.

Passo 8

Por fim integro em y de 0 a 3:
integral0^313e^y,dy =13l[e^yr]0^3 =13(e^3-1)
Então o valor da segunda integral é e^3-13.

Resposta

(2) ;1
(b) ;e^3-13

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