Calcule
.
a parte da esfera
situada entre os planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
e
é a parte da esfera
compreendida entre os planos
e
.
O conteúdo principal é integral de superfície em coordenadas esféricas; vamos parametrizar a esfera de raio e usar os limites em
para determinar os limites em
.
O conteúdo principal é integral de superfície em coordenadas esféricas; vamos parametrizar a esfera de raio
Passo 2
Parametrizamos a esfera de raio
por
com
. Os planos
e
correspondem a
e
.
Logo varia de
até
.
e
Logo
Passo 3
Em coordenadas esféricas temos
logo
O elemento de área na esfera de raio
é
Portanto o integrando fica
Passo 4
Escrevemos a integral como
A parte em
é trivial e dá fator
.
Passo 5
Usamos a substituição
,
. Então
Logo a integral total é
Passo 6
Calculamos
e
Então
e
Então
e a integral vale