Calcule integral duplaS f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=z raizx^2+y^2, S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=9 situada entre os planos z=1 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaS f(x,y,z),ds
onde f(x,y,z)=zraizx^2+y^2 e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=9 compreendida entre os planos z=1 e z=2.
O conteúdo principal é integral de superfície em coordenadas esféricas; vamos parametrizar a esfera de raio 3 e usar os limites em z para determinar os limites em varphi.

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio 3 por
r(varphi,theta)=l(3sinvarphicostheta,;3sinvarphisintheta,;3cosvarphir),
com thetain[0,2pi]. Os planos z=2 e z=1 correspondem a
,3cosvarphi=2impliesvarphi=arccosl(tfrac23r)
e
,3cosvarphi=1impliesvarphi=arccosl(tfrac13r).
Logo varphi varia de arccosl(tfrac23r) até arccosl(tfrac13r).

Passo 3

Em coordenadas esféricas temos
z=3cosvarphi, raizx^2+y^2=3sinvarphi,
logo
f=zraizx^2+y^2=9sinvarphicosvarphi
O elemento de área na esfera de raio 3 é
ds=3^2sinvarphi,dvarphi,dtheta=9sinvarphi,dvarphi,dtheta
Portanto o integrando fica
f,ds=9sinvarphicosvarphi;times;9sinvarphi,dvarphi,dtheta =81sin^2varphicosvarphi,dvarphi,dtheta

Passo 4

Escrevemos a integral como
integral duplaSf,ds =integraltheta=0^2pi!integralvarphi=arccos(2/3)^arccos(1/3) 81sin^2varphicosvarphi,dvarphi,dtheta
A parte em theta é trivial e dá fator 2pi.

Passo 5

Usamos a substituição u=sinvarphi, du=cosvarphi,dvarphi. Então
integral 81sin^2varphicosvarphi,dvarphi =81integral u^2,du =27,u^3 =27sin^3varphi
Logo a integral total é
2pil[27sin^3varphir]varphi=arccos(2/3)^varphi=arccos(1/3) =54pil(sin^3l(arccostfrac13r)-sin^3l(arccostfrac23r)r)

Passo 6

Calculamos
sinl(arccos(tfrac13)r)=raiz1-(tfrac13)^2=tfrac2raiz23
e
sinl(arccos(tfrac23)r)=raiz1-(tfrac23)^2=tfracraiz53
Então
sin^3l(arccostfrac13r)=16raiz227, sin^3l(arccostfrac23r)=5raiz527,
e a integral vale
54pi!(16raiz227-5raiz527) =2pil(16raiz2-5raiz5r)

Resposta

2pil(16raiz2-5raiz5r)

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