Seja uma placa circular de raio
, de espessura desprezível, que é resfriada e se contrai de maneira uniforme, mantendo sua forma circular. Calcule a variação da área da placa em função da variação de seu raio,
, ocorrida devido ao processo de resfriamento. Estime a variação da área utilizando diferenciais. Interprete o resultado.
Passo 1
O enunciado nos dá uma placa circular de raio
cuja área é
e diz que o raio sofre uma variação uniforme
devido ao resfriamento. Queremos achar a variação da área em função de
, usando diferenciais.
Passo 2
Primeiro encontramos a variação exata da área:
Passo 3
Para estimar
quando
é pequeno, usamos diferenciais. Como
o diferencial é
Passo 4
Substituindo
, obtemos a aproximação linear
Passo 5
Interpretação: a variação de área é aproximadamente o produto do comprimento da circunferência,
, pela variação do raio,
. Se
, a área diminui. A parcela
é de segunda ordem e fica desprezível para pequenas variações. Em termos percentuais,
Resposta
A variação aproximada da área é