Seja uma placa circular de raio r, de espessura desprezível, que é resfriada e se contrai de maneira uniforme, mantendo sua forma circular. Calcule a variação da área da placa em função da variação de seu raio, De<a r, ocorrida devido ao processo de resfriamento. Estime a variação da área utilizando diferenciais. Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado nos dá uma placa circular de raio r cuja área é
A(r)=pi r^2
e diz que o raio sofre uma variação uniforme De<a r devido ao resfriamento. Queremos achar a variação da área em função de De<a r, usando diferenciais.

Passo 2

Primeiro encontramos a variação exata da área:
De<a A = A(r+De<a r)-A(r) = pi(r+De<a r)^2 - pi r^2 = pil(2r,De<a r + (De<a r)^2r)

Passo 3

Para estimar De<a A quando De<a r é pequeno, usamos diferenciais. Como
A'(r)=ddr(pi r^2)=2pi r,
o diferencial é
dA = A'(r),dr = 2pi r,dr

Passo 4

Substituindo dr=De<a r, obtemos a aproximação linear
De<a A approx dA = 2pi r,De<a r

Passo 5

Interpretação: a variação de área é aproximadamente o produto do comprimento da circunferência, 2pi r, pela variação do raio, De<a r. Se De<a r<0, a área diminui. A parcela pi(De<a r)^2 é de segunda ordem e fica desprezível para pequenas variações. Em termos percentuais,
De<a AA approx 2pi r,De<a rpi r^2 = 2,De<a rr

Resposta

A variação aproximada da área é
boxedDe<a A approx 2pi r,De<a r

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