( ) Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite. Se divergir, justifique:

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência \n an=7^n3^n+1, que é um exercício de limites de sequência geométrica. Vamos precisar identificar se ela tem forma acdot r^n, e qual é r.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a sequência de modo a evidenciar a razão geométrica:
an=7^n3^n+1=13cdot7^n3^n=13l(tfrac73r)^n

Passo 3

Agora reconhecemos que an é da forma acdot r^n com a=1/3 e r=7/3. Em sequências geométricas, se |r|>1, os termos crescem em módulo sem limite.
Como r=7/3>1, temos l(tfrac73r)^n crescendo para +infty. Multiplicando por 1/3 não impede o crescimento ilimitado.

Passo 4

Portanto, a sequência não converge a um número finito: ela diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge, pois r=7/3>1 faz com que an=tfrac13(7/3)^n cresça sem limite ( anto+infty).

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