Calcule integral duplaS(rot F) cdot N d S sendo:
(a) F(x, y, z)=y i+z j+x k e S a parte do parabolóide z=9-x^2-y^2 que está acima do plano z=5, orientada pelo campo de vetores normais que aponta para cima;
(b) S e x y formada pelas 3 faces, que não estão no plano 3 x+y+3 z=6, do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano N, sendo S o campo normal exterior ao tetraedro;
© x^2+y^2-z^2=1 e x^2+y^2=4 a parte do hiperbolóide z limitada por com normal que aponta para o eixo .

Passo 1

O enunciado pede para calcular integrais de superfície do tipo integral duplaS (nabla times F)cdot N,dS em três situações distintas. Vamos usar principalmente o Teorema de Stokes (que converte o fluxo de nablatimes F por uma superfície em uma integral de linha sobre sua fronteira) e, no item (b), o fato de que nablacdot(nablatimes F)=0.

Passo 2

Para cada parte, primeiro calculamos o rotacional nablatimes F:
nablatimes(y,,z,,x)=(-1,,-1,,-1),
nablatimes(xz,,x-y,,x^2y)=(x^2,,x-2xy,,1),
nablatimes(x^2,,z,,yz)=(z-1,,0,,0)

Passo 3

Item (a): A superfície é z=9-x^2-y^2 acima de z=5, então a fronteira C é o círculo x^2+y^2=4, z=5, orientado no sentido anti-horário visto de cima. Pelo Teorema de Stokes:
integral duplaS(nablatimes F)cdot N,dS=ointC Fcdot d r

Passo 4

Item (a) (continuação): Parametrizamos C por x=2cos t, y=2sin t, z=5. Então:
-4sin^2t+10cos t
2pi
O produto escalar é -4integral0^2pisin^2t,dt+10integral0^2picos t,dt=-4pi+0=-4pi . Integrando de 0 a

Passo 5

No item (b), a superfície aberta é o tetraedro sem a face no plano xy. Como nablacdot(nablatimes F)=0, o fluxo total de nablatimes F por todas as faces fechadas é zero. Logo,
Phitotal=PhibasesXY+Phioutras,faces=0

Passo 6

O fluxo pela face no plano z=0 (triângulo em 3x+y=6, x,y>=0) com normal exterior apontando para baixo ( - k) é
-integral duplaDeÁ

Passo 7

Portanto o fluxo pelas outras três faces (o que queremos) é
Phioutras,faces=-Phibase,xy=6

Passo 8

No item ©, usamos novamente Teorema de Stokes. A superfície é a parte do hiperbolóide x^2+y^2-z^2=1 limitada pelo cilindro x^2+y^2=4. A fronteira são os dois círculos em r=2, z=pmraiz3.

Passo 9

No item © (continuação): Parametrizamos cada círculo por x=2cos t, y=2sin t, z=pmraiz3. Em ambos d r=(-2sin t,2cos t,0)dt e avaliamos F neles. Cada integral de linha dá zero, pois os termos em sin^n t e cos t se anulam no período.

Passo 10

Logo, a soma das integrais de linha sobre as duas fronteiras é zero, e pelo Teorema de Stokes:
integral duplaS(nablatimes F)cdot N,dS=0

Resposta

(a) -4pi; (b) 6; © 0.

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