Calcule
sendo:
(a)
e
a parte do parabolóide
que está acima do plano
, orientada pelo campo de vetores normais que aponta para cima;
(b)
e
formada pelas 3 faces, que não estão no plano
, do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano
, sendo
o campo normal exterior ao tetraedro;
©
e
a parte do hiperbolóide
limitada por
com normal que aponta para o eixo
.
(a)
(b)
©
Passo 1
O enunciado pede para calcular integrais de superfície do tipo
em três situações distintas. Vamos usar principalmente o Teorema de Stokes (que converte o fluxo de
por uma superfície em uma integral de linha sobre sua fronteira) e, no item (b), o fato de que
.
Passo 2
Para cada parte, primeiro calculamos o rotacional
:
Passo 3
Item (a): A superfície é
acima de
, então a fronteira
é o círculo
,
, orientado no sentido anti-horário visto de cima. Pelo Teorema de Stokes:
Passo 4
Item (a) (continuação): Parametrizamos
por
. Então:
O produto escalar é . Integrando de 0 a
dá
O produto escalar é
Passo 5
No item (b), a superfície aberta é o tetraedro sem a face no plano
. Como
, o fluxo total de
por todas as faces fechadas é zero. Logo,
Passo 6
O fluxo pela face no plano
(triângulo em
) com normal exterior apontando para baixo (
) é
Passo 7
Portanto o fluxo pelas outras três faces (o que queremos) é
Passo 8
No item ©, usamos novamente Teorema de Stokes. A superfície é a parte do hiperbolóide
limitada pelo cilindro
. A fronteira são os dois círculos em
.
Passo 9
No item © (continuação): Parametrizamos cada círculo por
. Em ambos
e avaliamos
neles. Cada integral de linha dá zero, pois os termos em
e
se anulam no período.
Passo 10
Logo, a soma das integrais de linha sobre as duas fronteiras é zero, e pelo Teorema de Stokes:
Resposta
(a)
; (b)
; ©
.