Questão 20: Um arame fino é entortado no formato da curva interseção do cilindro elíptico
com o plano
.
a) Parametrize C.
b)Determine a massa de C se a densidade em qualquer ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao plano yz.
resp: a)
, sent,
sent
resp: b)
u.m.
a) Parametrize C.
b)Determine a massa de C se a densidade em qualquer ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao plano yz.
resp: a)
resp: b)
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar a curva C de interseção entre o cilindro elíptico
e o plano
e, em seguida, calcular a massa do fio cuja densidade em cada ponto é o quadrado da distância desse ponto ao plano
. Vamos usar parametrização de curvas e integral de linha com densidade.
Passo 2
Para parametrizar C observamos que a projeção no plano
é a elipse
. Usamos
e
para
. O valor de
vem do plano,
. Assim obtemos:
Passo 3
A densidade é o quadrado da distância ao plano
(equação
), que é
. Logo
. Em termos de
:
Passo 4
Derivamos a parametrização:
e calculamos o módulo:
Assim o elemento de comprimento é
.
Passo 5
Montamos a integral de massa:
Passo 6
Usamos a identidade
, o que dá
. Portanto a massa é
.
Resposta
a)
b)
u.m.