Questão 20: Um arame fino é entortado no formato da curva interseção do cilindro elíptico x^22+y^2=1 com o plano z=10-y.
a) Parametrize C.
b)Determine a massa de C se a densidade em qualquer ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao plano yz.
resp: a) gamma(t)=(raiz2 cos t, sent, 10- sent ), 0 <= t <= 2 pi
resp: b) 2 raiz2 pi u.m.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva C de interseção entre o cilindro elíptico tfracx^22+y^2=1 e o plano z=10-y e, em seguida, calcular a massa do fio cuja densidade em cada ponto é o quadrado da distância desse ponto ao plano yz. Vamos usar parametrização de curvas e integral de linha com densidade.

Passo 2

Para parametrizar C observamos que a projeção no plano xy é a elipse tfracx^22+y^2=1. Usamos x(t)=raiz2cos t e y(t)=sin t para 0<= t<=2pi. O valor de z vem do plano, z(t)=10-y(t)=10-sin t. Assim obtemos: gamma(t)=(raiz2cos t,;sin t,;10-sin t), 0<= t<=2pi

Passo 3

A densidade é o quadrado da distância ao plano yz (equação x=0), que é |x|. Logo rho(x,y,z)=x^2. Em termos de t: rho(t)=l(raiz2cos tr)^2=2cos^2t

Passo 4

Derivamos a parametrização: gamma'(t)=(-raiz2sin t,;cos t,;-cos t) e calculamos o módulo: |gamma'(t)|=raiz2sin^2t+cos^2t+cos^2t=raiz2(sin^2t+cos^2t)=raiz2 Assim o elemento de comprimento é ds=raiz2,dt.

Passo 5

Montamos a integral de massa:
integralCrho,ds=integral0^2pi2cos^2tcdotraiz2,dt=2raiz2integral0^2picos^2t,dt

Passo 6

Usamos a identidade cos^2t=(1+cos2t)/2, o que dá integral0^2picos^2t,dt=pi. Portanto a massa é 2raiz2pi.

Resposta

a) gamma(t)=(raiz2cos t,sin t,10-sin t),;0<= t<=2pi b) 2raiz2pi u.m.

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