Questão 19: Calcule a massa de um arame cuja forma é dada pelo arco da curva interseção das superfícies x^2+y^2+z^2=4, z >= 0 e y=x, sabendo que a densidade em cada ponto (x, y, z) é proporcional à distância do ponto ao plano xy .
resp:8ku.m.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um fio cuja forma é o arco da interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4, com z>=0, e o plano y=x, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância ao plano xy. O conteúdo aqui é integral de linha de uma função escalar (densidade variável) sobre uma curva. Vamos precisar parametrizar esse arco, expressar a densidade como função do parâmetro e calcular integralde.

Passo 2

Como o plano y=x passa pelo centro da esfera, sua interseção é um grande círculo de raio 2. Restrito a z>=0, temos um semicírculo. Escolhemos no plano y=x uma base ortonormal: u=(1/raiz2,1/raiz2,0) e v=(0,0,1). Assim, parametrizamos
r(theta)=2l(costheta, u+sintheta, vr)=l(raiz2costheta,raiz2costheta,2sinthetar), 0<=theta<=pi
Calculamos a derivada e o elemento de comprimento:
r'(theta)=(-raiz2sintheta,-raiz2sintheta,2costheta),
| r'(theta)|=raiz2sin^2theta+2sin^2theta+4cos^2theta=raiz4(sin^2theta+cos^2theta)=2,
logo ds=2,dtheta.

Passo 3

A densidade é de. Montando a integral de massa:
m=integralCde

Resposta

m=8k

Exercícios relacionados