Questão 19: Calcule a massa de um arame cuja forma é dada pelo arco da curva interseção das superfícies
e
, sabendo que a densidade em cada ponto
é proporcional à distância do ponto ao plano xy .
resp:8ku.m.
resp:8ku.m.
Passo 1
O enunciado pede a massa de um fio cuja forma é o arco da interseção da esfera
, com
, e o plano
, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância ao plano
. O conteúdo aqui é integral de linha de uma função escalar (densidade variável) sobre uma curva. Vamos precisar parametrizar esse arco, expressar a densidade como função do parâmetro e calcular
.
Passo 2
Como o plano
passa pelo centro da esfera, sua interseção é um grande círculo de raio 2. Restrito a
, temos um semicírculo. Escolhemos no plano
uma base ortonormal:
e
. Assim, parametrizamos
Calculamos a derivada e o elemento de comprimento:
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Passo 3
A densidade é
. Montando a integral de massa: