Nos Problemas 35 e 36 , mostre que os números indicados satisfazem a equação dada. Em cada caso, explique por que soluções adicionais podem ser encontradas.
z^2+i=0, z1=-raiz22+raiz22 i. Determine uma solução adicional, z2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação z^2 + i = 0, ou seja, encontrar as raízes quadradas de -i. Isso envolve o conteúdo de representação polar de números complexos e a fórmula para raízes de ordem 2.

Passo 2

Em geral, para achar as raízes de z^2 = Re^itheta, usamos que as duas soluções são dadas por
zk = raizR,e^i(theta2 + kpi), k=0,1

Passo 3

Aqui temos R=1 e precisamos escrever -i em forma polar. Note que
-i = 1cdot e^itheta, onde o módulo é 1 e um argumento conveniente é theta = -tfracpi2 (poderíamos também usar 3pi/2, mas basta uma escolha).

Passo 4

Aplicando a fórmula com R=1 e theta=-tfracpi2, obtemos as duas raízes:
z0 = e^i(-tfracpi4 + 0cdotpi) = e^-ipi/4 = raiz22 - raiz22i,
z1 = e^i(-tfracpi4 + pi) = e^i3pi/4 = -raiz22 + raiz22i

Passo 5

Como no enunciado já foi dado z1 = -tfracraiz22 + tfracraiz22i, a outra solução é z2 = tfracraiz22 - tfracraiz22i. A razão de existirem exatamente duas soluções é que, ao dividir o argumento theta por 2, acrescentamos kpi com k=0,1, gerando duas raízes distintas.

Resposta

z2 = raiz22 - raiz22i.

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