A soma de irracionais é sempre irracional? E o produto?
Passo 1
Resumo do enunciado e o que vamos usar: queremos verificar se a soma de dois números irracionais é necessariamente irracional e o mesmo para o produto. Para isso, vamos usar a definição de número irracional (um real que não pode ser expresso como $p/q$, com \p e \q inteiros) e a ideia de contraexemplo para refutar uma afirmação do tipo “sempre”.
Passo 2
Análise da soma de dois irracionais: se a soma fosse sempre irracional, não encontraríamos nenhum par de irracionais cuja soma fosse racional. Mas basta um contraexemplo. Por exemplo, tome $a=\sqrt{2}$ e $b=2-\sqrt{2}$, ambos irracionais. Então
que é racional. Por outro lado, podemos ver que em geral a soma pode continuar irracional, como em $\sqrt{2} + \sqrt{3}$. Assim, a soma de irracionais não é sempre irracional.
Passo 3
Análise do produto de dois irracionais: aplicamos o mesmo raciocínio. Se o produto fosse sempre irracional, nenhum par de irracionais geraria um resultado racional. Mas considere $a=\sqrt{2}$ e $b=\sqrt{2}$. Então
Resposta
Não. A soma de dois números irracionais pode ser racional (ex.: \sqrt{2} + (2 - \sqrt{2}) = 2) ou irracional, e o produto também pode ser racional (ex.: \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2) ou irracional (ex.: \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}).