Calcule integral duplaS y^2 z^2 d y wed>= d z+x d z wed>= d x+y d x wed>= d y, onde S é a parte da superfície z^2=x^2+2 y^2 entre os planos z=1 e z=y+3, orientada com N tal que N cdot k<0.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de superfície de uma 2-forma em R^3 sobre a parte da superfície z^2=x^2+2y^2 entre os planos z=1 e z=y+3, com orientação para baixo ( vec Ncdotvec k<0). O conteúdo central aqui é reconhecimento dessa 2-forma como fluxo de um campo vetorial F=(P,Q,R) e uso do teorema da divergência (Gauss) sobre a região fechada formada pela superfície cônica e os dois “tampões” planos.

Passo 2

Identificamos a 2-forma como fluxo do campo
F=(P,Q,R)=(y^2z^2,;x,;y)
pois em R^3
Fcdot d S = P,dywed>= dz + Q,dzwed>= dx + R,dxwed>= dy

Passo 3

Construímos o volume V limitado pela parte da superfície cônica z^2=x^2+2y^2 e pelos planos z=1 e z=y+3. Pelo teorema da divergência, o fluxo de F pela superfície fechada partial V é
integral duplapartial V Fcdot d S = integral triplaV nablacdot F,dV

Passo 4

Calculamos nablacdot F=partialx(y^2z^2)+partialy(x)+partialz(y)=0. Logo
integral duplapartial V Fcdot d S =0

Passo 5

A fronteira partial V é composta pela superfície cônica S (orientada com normal de fora do volume, oposta à dada) e pelos tampões:
  1. S1: plano z=1, com região D1:,x^2+2y^2<=1, normal para baixo (0,0,-1).
  2. S2: plano z=y+3, com região D2:,x^2+(y-3)^2<=18, normal dada por rxtimes ry=(0,-1,1).

Passo 6

Chamando de PhiS o fluxo de F por S com a normal dada e de PhiSi os fluxos dos tampões com normais exteriores ao volume, temos:
PhiS,out + PhiS1,out + PhiS2,out =0,
e como a normal exterior em S é o oposto da dada, ou seja PhiS,out=-PhiS, obtemos
-PhiS + PhiS1,out + PhiS2,out=0
portanto
PhiS = PhiS1,out+PhiS2,out

Passo 7

Calculamos PhiS1,out: em S1, z=1, normal (0,0,-1),
PhiS1,out = integral duplaD1 F(x,y,1)cdot(0,0,-1),dA = -integral duplax^2+2y^2<=1 y,dxdy
Mas o domínio é simétrico em y, logo esta integral é zero.

Passo 8

Calculamos PhiS2,out: em S2, z=y+3, vetor área (0,-1,1),dxdy,
PhiS2,out = integral duplaD2 F(x,y,y+3)cdot(0,-1,1),dxdy = integral duplaD2[-x + y],dxdy
Fazendo a troca u=x, v=y-3 sobre o disco u^2+v^2<=18, temos
integral duplaD2y,dxdy = integral duplau^2+v^2<=18(v+3),du dv = 3cdot(picdot18)=54pi,
integral duplaD2x,dxdy = integral duplau^2+v^2<=18u,du dv =0
Logo
PhiS2,out=54pi

Resposta

54\pi

Exercícios relacionados