Calcule
, onde
é a parte da superfície
entre os planos
e
, orientada com
tal que
.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de superfície de uma 2-forma em R^3 sobre a parte da superfície
entre os planos
e
, com orientação para baixo (
). O conteúdo central aqui é reconhecimento dessa 2-forma como fluxo de um campo vetorial
e uso do teorema da divergência (Gauss) sobre a região fechada formada pela superfície cônica e os dois “tampões” planos.
Passo 2
Identificamos a 2-forma como fluxo do campo
pois em R^3
Passo 3
Construímos o volume
limitado pela parte da superfície cônica
e pelos planos
e
. Pelo teorema da divergência, o fluxo de
pela superfície fechada
é
Passo 4
Calculamos
. Logo
Passo 5
A fronteira
é composta pela superfície cônica
(orientada com normal de fora do volume, oposta à dada) e pelos tampões:
-
: plano , com região , normal para baixo . -
: plano , com região , normal dada por .
Passo 6
Chamando de
o fluxo de
por
com a normal dada e de
os fluxos dos tampões com normais exteriores ao volume, temos:
e como a normal exterior em
é o oposto da dada, ou seja
, obtemos
portanto
Passo 7
Calculamos
: em
,
, normal
,
Mas o domínio é simétrico em
, logo esta integral é zero.
Passo 8
Calculamos
: em
,
, vetor área
,
Fazendo a troca
sobre o disco
, temos
Logo
Resposta
54\pi