Questão 6: Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.
Passo 1
O enunciado nos pede o volume do sólido que fica dentro da esfera
e acima do cone
. O conteúdo é cálculo de volume por integração em coordenadas esféricas, e vamos precisar da fórmula de mudança de variáveis para esféricas e dos limites de integração.
Passo 2
Para usar coordenadas esféricas, lembramos que: 1)
,
,
; 2) o elemento de volume é
. Essa mudança facilita quando as fronteiras são superfícies de revolução.
Passo 3
A esfera
vira simplesmente
. Já o cone
, em esféricas, dá
e simplificando (
ou seja
Passo 4
Portanto, a região é descrita por
O volume é a integral tripla
Agora calculamos em etapas:
- Integral em
:
Passo 5
- Integral em
:
Passo 6
- Integral em
:
Multiplicando tudo: