Questão 6: Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e inferiormente pelo cone resp: 16 pi3(1-raiz32) u v .

Passo 1

O enunciado nos pede o volume do sólido que fica dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4 e acima do cone z=raiz3(x^2+y^2). O conteúdo é cálculo de volume por integração em coordenadas esféricas, e vamos precisar da fórmula de mudança de variáveis para esféricas e dos limites de integração.

Passo 2

Para usar coordenadas esféricas, lembramos que: 1) x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi; 2) o elemento de volume é dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta. Essa mudança facilita quando as fronteiras são superfícies de revolução.

Passo 3

A esfera x^2+y^2+z^2=4 vira simplesmente rho=2. Já o cone z=raiz3(x^2+y^2), em esféricas, dá
rhocosvarphi=raiz3l(rho^2sin^2varphir)
e simplificando ( rho>0) chega-se a
cosvarphi=raiz3,sinvarphi
ou seja
tanvarphi=tfrac1raiz3Rightarrow varphi=tfracpi6

Passo 4

Portanto, a região é descrita por
0<=theta<=2pi,0<=varphi<=tfracpi6,0<=rho<=2
O volume é a integral tripla
V=integral0^2pi!integral0^pi/6!integral0^2 rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
Agora calculamos em etapas:
  1. Integral em rho:
integral0^2rho^2,drho=2^33=83

Passo 5

  1. Integral em varphi:
integral0^pi/6sinvarphi,dvarphi=1-cosl(tfracpi6r)=1-raiz32

Passo 6

  1. Integral em theta:
integral0^2pidtheta=2pi
Multiplicando tudo:
V=2pitimes83timesl(1-raiz32r)=16pi3l(1-raiz32r)

Resposta

16pi3l(1-raiz32r) unidades de volume

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