Um número par é um número em Z da forma 2 n, com n in Z. Um número ímpar é um número em Z da forma 2 m+1, com m in Z. Por exemplo, 9=2 cdot 4+1. Logo 9 é ímpar.
Prove que a soma de dois números ímpares é par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se eu somar dois números ímpares (elementos de Z da forma 2m+1) o resultado é um número par (da forma 2n). Vamos usar a definição de número ímpar e mostrar que a soma fica na forma 2times(cdot).

Passo 2

Vamos chamar o primeiro número ímpar de 2m+1, onde minZ, e o segundo de 2n+1, onde ninZ.
Agora somamos:
(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2

Passo 3

Fatorando o 2 na soma, temos:
2m+2n+2=2,(m+n+1)

Passo 4

Como m+n+1 é um inteiro (soma de inteiros), concluímos que a soma dos dois ímpares é da forma 2times(inteiro), ou seja, é par.

Resposta

A soma de dois números ímpares resulta em um número par, pois (2m+1)+(2n+1)=2(m+n+1) e como m+n+1inZ, o resultado é da forma 2k.

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