Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
, sendo
e
a elipse
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
e
é uma elipse definida por
,
,
para
. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que basicamente transforma uma integral de linha em uma integral de superfície, facilitando os cálculos. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
e parametrizar a superfície que está limitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele estabelece que:
Ou seja, a integral de linha de
ao longo de
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
que tem
como contorno, com
sendo o vetor normal à superfície.
Passo 3
Nossa primeira tarefa é calcular o rotacional de
, que é
. Para uma função vetorial
, o rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos o rotacional de
, que é
, vamos configurar a integral de superfície
.
Precisamos escolher uma superfície
que seja simples de parametrizar e que tenha
como contorno. Olhando para a curva
, vemos que ela está no plano
e descreve uma elipse. Então, a gente pode escolher
como a própria elipse no plano
.
Passo 5
Vamos parametrizar a superfície
. Como
está no plano
, podemos usar as coordenadas
e
como parâmetros. A parametrização fica:
Agora, precisamos encontrar o vetor normal
à superfície. Como
está no plano
, o vetor normal pode ser simplesmente
. Mas, como o rotacional de
é
, e queremos que
seja compatível com a orientação de
, mantemos
.
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Então, a integral de superfície fica:
Precisamos calcular a área da elipse
. A equação paramétrica de
é
,
, o que corresponde a uma elipse com semi-eixos
e
. A área de uma elipse é dada por:
Passo 7
Finalmente, substituímos a área na integral:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.