Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointC f cdot d r, sendo f=(e^x^2+2 y, e^y^2+x, e^z^2) e C a elipse dotx=cos t, y=2 sen t, z=2, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde e é uma elipse definida por , , para . Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que basicamente transforma uma integral de linha em uma integral de superfície, facilitando os cálculos. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e parametrizar a superfície que está limitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele estabelece que:
ointC f cdot d r = integral duplaS (nabla times f) cdot n , dS
Ou seja, a integral de linha de ao longo de é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como contorno, com sendo o vetor normal à superfície.

Passo 3

Nossa primeira tarefa é calcular o rotacional de nabla times f = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , que é partial Rpartial y = 0, partial Qpartial z = 0 . Para uma função vetorial partial Ppartial z = 0, partial Rpartial x = 0 , o rotacional é dado por:
partial Qpartial x = 1, partial Ppartial y = 2
Vamos calcular cada componente:
  • nabla times f = (0 - 0, 0 - 0, 1 - 2) = (0, 0, -1)
Então:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos o rotacional de , que é , vamos configurar a integral de superfície .
Precisamos escolher uma superfície que seja simples de parametrizar e que tenha como contorno. Olhando para a curva , vemos que ela está no plano e descreve uma elipse. Então, a gente pode escolher como a própria elipse no plano .

Passo 5

Vamos parametrizar a superfície r(x, y) = (x, y, 2) . Como está no plano , podemos usar as coordenadas e como parâmetros. A parametrização fica:
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Como está no plano , o vetor normal pode ser simplesmente . Mas, como o rotacional de é , e queremos que seja compatível com a orientação de , mantemos .

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar (0, 0, -1) cdot (0, 0, 1) = -1 :
integral duplaS -1 , dS = - integral duplaS dS
Então, a integral de superfície fica:
Área = pi a b = pi times 1 times 2 = 2pi
Precisamos calcular a área da elipse . A equação paramétrica de é , , o que corresponde a uma elipse com semi-eixos e . A área de uma elipse é dada por:
Á

Passo 7

Finalmente, substituímos a área na integral:
- integral duplaS dS = - times 2pi = -2pi

Resposta

A integral de linha é igual a .

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