Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointc f. d r. ondc f=(y^prime cos x z, 2 x^2+z^2, y(x-z)) e C é o retângulo 0 <= x <= 4,0 <= z <= 1, no plano y=2. Considerar os dois sentidos do percurso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes! Basicamente, temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial ao redor de um retângulo no plano. Pra isso, a gente vai precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo nesse contexto. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o enunciado: queremos calcular a integral de linha ointC f cdot dr, onde f = (y cos(xz), 2x^2+z^2, y(x-z)), e C é o retângulo definido por 0 <= x <= 4 e 0 <= z <= 1 no plano y=2. Além disso, temos que considerar os dois sentidos do percurso.

Passo 3

Teorema de Stokes diz que a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada C é igual à integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície S que tem C como sua borda. Matemáticamente:
ointC f cdot dr = integral duplaS (nabla times f) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de f. O rotacional de um campo vetorial f = (f1, f2, f3) é dado por:
nabla times f = ( partial f3partial y - partial f2partial z, partial f1partial z - partial f3partial x, partial f2partial x - partial f1partial y )
Vamos aplicar isso ao nosso campo f.

Passo 5

Calculando cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
partial f3partial y - partial f2partial z = partialpartial y[y(x - z)] - partialpartial z[2x^2 + z^2] = (x - z) - 2z = x - 3z
  1. Segunda componente:
partial f1partial z - partial f3partial x = partialpartial z[y cos(xz)] - partialpartial x[y(x - z)] = -y x sin(xz) - y = -y(x sin(xz) + 1)
  1. Terceira componente:
partial f2partial x - partial f1partial y = partialpartial x[2x^2 + z^2] - partialpartial y[y cos(xz)] = 4x - cos(xz)
Portanto,
nabla times f = ( x - 3z, -y(x sin(xz) + 1), 4x - cos(xz) )

Passo 6

Agora, precisamos escolher uma superfície S que tenha C como borda. Como C está no plano y=2, podemos escolher essa própria superfície, que é um retângulo no plano y=2.
O vetor normal n para o plano y=2 é simplesmente (0,1,0), pois é perpendicular ao plano.

Passo 7

Vamos agora calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times f) cdot n , dS
Como n = (0,1,0), apenas a segunda componente do rotacional contribui:
(nabla times f) cdot n = -y(x sin(xz) + 1)
Sabemos que y=2, então:
-2(x sin(2x z) + 1)

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão sobre o retângulo 0 <= x <= 4, 0 <= z <= 1:
integral duplaS -2(x sin(x z) + 1) , dS = -2 integral0^4 integral0^1 (x sin(x z) + 1) , dz , dx
Vamos resolver essa integral dupla passo a passo.

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^1 (x sin(x z) + 1) , dz = x integral0^1 sin(x z) , dz + integral0^1 1 , dz
Calculemos cada parte:
  1. Integral de sin(x z):
integral sin(x z) , dz = -1x cos(x z) + C
Então,
x [ -1x cos(x z) ]0^1 = -cos(x) + cos(0) = -cos(x) + 1
  1. Integral de 1:
integral0^1 1 , dz = 1
Portanto, a integral em z é:
(-cos(x) + 1) + 1 = -cos(x) + 2

Passo 10

Agora, substituímos de volta na integral dupla:
-2 integral0^4 (-cos(x) + 2) , dx = -2 [ integral0^4 -cos(x) , dx + integral0^4 2 , dx ]
Resolvendo cada integral:
  1. Integral de -cos(x):
integral -cos(x) , dx = -sin(x) + C
Avaliado de 0 a 4:
-sin(4) + sin(0) = -sin(4)
  1. Integral de 2:
integral 2 , dx = 2x + C
Avaliado de 0 a 4:
2(4) - 2(0) = 8

Passo 11

Substituindo de volta:
-2 [ -sin(4) + 8 ] = -2(-sin(4) + 8) = 2sin(4) - 16

Resposta

A integral de linha ointC f cdot dr vale 2 sin(4) - 16.

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