Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
.
. ondc
e
é o retângulo
, no plano
. Considerar os dois sentidos do percurso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes! Basicamente, temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial ao redor de um retângulo no plano. Pra isso, a gente vai precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo nesse contexto. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o enunciado: queremos calcular a integral de linha
, onde
, e
é o retângulo definido por
e
no plano
. Além disso, temos que considerar os dois sentidos do percurso.
Passo 3
Teorema de Stokes diz que a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada
é igual à integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
que tem
como sua borda. Matemáticamente:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso campo
.
Passo 5
Calculando cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto,
Passo 6
Agora, precisamos escolher uma superfície
que tenha
como borda. Como
está no plano
, podemos escolher essa própria superfície, que é um retângulo no plano
.
O vetor normal
para o plano
é simplesmente
, pois é perpendicular ao plano.
Passo 7
Vamos agora calcular a integral de superfície:
Como
, apenas a segunda componente do rotacional contribui:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, vamos integrar essa expressão sobre o retângulo
,
:
Vamos resolver essa integral dupla passo a passo.
Passo 9
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculemos cada parte:
- Integral de
:
Então,
- Integral de 1:
Portanto, a integral em
é:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na integral dupla:
Resolvendo cada integral:
- Integral de
:
Avaliado de 0 a 4:
- Integral de 2:
Avaliado de 0 a 4:
Passo 11
Substituindo de volta:
Resposta
A integral de linha
vale
.