Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz:
Passo 1
Vamos verificar se a série converge. Para isso, vamos utilizar três métodos diferentes: o teste da série alternada, o teste da razão e o teste da raiz. Precisamos entender cada um desses testes e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o teste da série alternada. Esse teste é usado para séries que alternam em sinal, como é o caso da nossa série devido ao termo . Para que a série convirja por esse teste, dois critérios devem ser atendidos:
O termo geral deve ser positivo, decrescente e tendente a zero quando tende ao infinito.
O limite de quando tende ao infinito deve ser zero.
Vamos verificar:
Positividade: é positivo para todo .
Decrescimento: Observando que, conforme aumenta, o numerador cresce mais devagar que o denominador, então diminui.
Limite: .
Como o limite não é zero, o teste da série alternada não confirma a convergência.
Passo 3
Agora, vamos ao teste da razão. Esse teste analisa o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste é inconclusivo.