Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz:
sumn=1^infty(-1)^n+1 n+13 n+1

Passo 1

Vamos verificar se a série sumn=1^infty(-1)^n+1 n+13 n+1 converge. Para isso, vamos utilizar três métodos diferentes: o teste da série alternada, o teste da razão e o teste da raiz. Precisamos entender cada um desses testes e aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o teste da série alternada. Esse teste é usado para séries que alternam em sinal, como é o caso da nossa série devido ao termo (-1)^n+1. Para que a série convirja por esse teste, dois critérios devem ser atendidos:
  1. O termo geral bn = n+13n+1 deve ser positivo, decrescente e tendente a zero quando n tende ao infinito.
  2. O limite de bn quando n tende ao infinito deve ser zero.
Vamos verificar:
  • Positividade: bn = n+13n+1 é positivo para todo n >= 1.
  • Decrescimento: Observando que, conforme n aumenta, o numerador cresce mais devagar que o denominador, então bn diminui.
  • Limite: limn to infty n+13n+1 = 13 neq 0.
Como o limite não é zero, o teste da série alternada não confirma a convergência.

Passo 3

Agora, vamos ao teste da razão. Esse teste analisa o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste é inconclusivo.
Calculando:
an = (-1)^n+1 n+13n+1
| an+1an | = (n+2)/(3(n+1)+1)(n+1)/(3n+1) = n+23n+4 cdot 3n+1n+1
Simplificando:
limn to infty (n+2)(3n+1)(3n+4)(n+1) = limn to infty 3n^2 + 7n + 23n^2 + 7n + 4 = 1
Como L = 1, o teste da razão é inconclusivo.

Passo 4

Por fim, vamos utilizar o teste da raiz. Esse teste envolve calcular:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste é inconclusivo.
Calculando:
raiz[n]|an| = raiz[n]n+13n+1 = ( n+13n+1 )^1/n
Tomando o limite:
limn to infty ( n+13n+1 )^1/n = limn to infty ( 1 + 1n3 + 1n )^1/n = 1
Assim, novamente, o teste da raiz é inconclusivo.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 n+13 n+1 não converge pelo teste da série alternada, e os testes da razão e da raiz são inconclusivos.

Exercícios relacionados