Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz:
sumn=1^infty 2^n-1 3^n+1n^n

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita:
sumn=1^infty 2^n-1 cdot 3^n+1n^n
E precisamos verificar se essa série converge ou diverge usando três métodos diferentes: o teste da série alternada, o teste da razão e o teste da raiz. Para isso, vamos precisar entender cada um desses testes e ver qual se aplica melhor à nossa série.

Passo 2

Teste da Série Alternada
Primeiro, vamos considerar o teste da série alternada. Esse teste é usado para séries onde os termos alternam entre positivo e negativo, do tipo:
sumn=1^infty (-1)^n bn
onde an = 2^n-1 cdot 3^n+1n^n é crescente e tende a zero.
No nosso caso, os termos da série são:
Todos os termos são positivos porque , e são positivos para todo . Como não há alternância de sinais, o teste da série alternada não é aplicável aqui.

Passo 3

Teste da Razão
Agora, vamos aplicar o teste da razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo potências ou fatoriais. O teste da razão consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
E analisar o valor de an+1an = 2^(n+1)-1 cdot 3^(n+1)+1(n+1)^n+1 cdot n^n2^n-1 cdot 3^n+1 = 2^n cdot 3^n+2(n+1)^n+1 cdot n^n2^n-1 cdot 3^n+1 = 2 cdot 3 cdot n^n(n+1)^n+1 :
  • Se an+1an = 6 cdot n^n(n+1)^n+1 = 6 cdot ( nn+1 )^n cdot 1n+1 , a série converge.
  • Se L = limn to infty 6 cdot ( nn+1 )^n cdot 1n+1 , a série diverge.
  • Se limn to infty ( nn+1 )^n = 1e , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular limn to infty 1n+1 = 0 :
Simplificando:
Agora, vamos calcular o limite:
L = 6 cdot 1e cdot 0 = 0
Sabemos que:
E:
Portanto:
Como , segundo o teste da razão, a série converge.

Passo 4

Teste da Raiz
Apesar de já termos concluído que a série converge pelo teste da razão, vamos confirmar usando o teste da raiz. Esse teste envolve calcular:
L = limn to infty raiz[n]|an|
E analisar raiz[n]an = raiz[n]2^n-1 cdot 3^n+1n^n = 2^n-1n cdot 3^n+1nn :
  • Se 2^n-1n = 2^1 - 1n to 2 quando n to infty , a série converge.
  • Se 3^n+1n = 3^1 + 1n to 3 quando n to infty , a série diverge.
  • Se raiz[n]an approx 2 cdot 3n = 6n , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular L = limn to infty 6n = 0 :
Simplificando os expoentes:
Então:
Calculando o limite:
Como , segundo o teste da raiz, a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste da razão e pelo teste da raiz.

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