Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.
integral duplaR(x+y) e^x^--y^2 d A, onde R é o retângulo delimitado pelas retas x-y=0, x-y=2, x+y=0 e x+y=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(x+y),e^x^2-y^2,dA
no retângulo R limitado por
x-y=0, x-y=2, x+y=0, x+y=3
O conteúdo é mudança de variáveis; vamos usar as novas coordenadas
u = x-y, v = x+y,
que transformam R num retângulo simples em uv.

Passo 2

Resolver para x,y em função de u,v. Somando e subtraindo:
x = u+v2, y = v-u2
Em seguida calculamos o Jacobiano
J = partial(x,y)partial(u,v) = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = det tfrac12 & tfrac12[6pt] -tfrac12 & tfrac12 = tfrac12 ]

Passo 3

Em uv o domínio vira
0 <= u <= 2, 0 <= v <= 3
Também reescrevemos o integrando:
x+y = v, x^2-y^2 = (x-y)(x+y) = uv
Logo
(x+y),e^x^2-y^2 = v,e^uv,
e a integral torna-se
integral duplaR(x+y),e^x^2-y^2,dA = integralu=0^2!integralv=0^3 v,e^uv;l|Jr|;dv,du = 12 integral0^2!integral0^3 v,e^uv,dv,du

Passo 4

Para simplificar, trocamos a ordem de integração. Primeiro integramos em u:
integral0^2 e^uv,du = l[e^uvvr]u=0^u=2 = e^2v-1v
Assim
integral0^2!integral0^3 v,e^uv,dv,du = integral0^3 v;e^2v-1v,dv = integral0^3l(e^2v-1r),dv
Integramos em v:
integral0^3l(e^2v-1r),dv = l[e^2v2-vr]0^3 = l(e^62-3r)-l(12-0r) = e^6-12-3

Passo 5

Não esquecemos do fator tfrac12 do Jacobiano:
integral duplaR(x+y),e^x^2-y^2,dA = 12l(e^6-12-3r) = e^6-14-32

Resposta

boxede^6-14-32

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