1^a Questão:
(a) Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função
f(x)=1-2 raizx-3
usando transformações na função raiz g(x)=raizx.
(b) A função f é injetora? Se sim, calcule sua inversa f^-1 explicitando seu domínio e imagem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função f(x) = 1 - 2raizx - 3 . A primeira parte (a) quer que a gente encontre o domínio, a imagem e faça um esboço do gráfico usando transformações da função raiz básica g(x) = raizx . Para isso, precisamos entender o que é domínio (todos os valores de x que a função aceita) e imagem (todos os valores que a função pode produzir). Também vamos usar transformações como deslocamento e escala para desenhar o gráfico.

Passo 2

Encontrando o domínio:
O domínio da função f(x) = 1 - 2raizx - 3 depende do que está dentro da raiz quadrada. Sabemos que a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar raiz quadrada de números negativos. Então, temos:
x - 3 >= 0
Resolvendo essa desigualdade:
x >= 3
Teoria aplicada: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de x para os quais a função está definida. No caso da raiz quadrada, o que está dentro da raiz precisa ser não-negativo.

Passo 3

Encontrando a imagem:
Agora, vamos ver quais valores f(x) pode assumir. Sabemos que raizx - 3 sempre será maior ou igual a zero, então:
-2raizx - 3 <= 0
Adicionando 1 a ambos os lados:
1 - 2raizx - 3 <= 1
Portanto, o valor máximo de f(x) é 1. Como raizx - 3 pode crescer sem limite, f(x) pode diminuir indefinidamente, então:
f(x) <= 1
Teoria aplicada: A imagem da função é o conjunto de todos os valores que a função pode produzir. Aqui, vimos que a função começa em 1 e pode diminuir à medida que x aumenta.

Passo 4

Esboçando o gráfico usando transformações:
Vamos transformar a função básica g(x) = raizx passo a passo para chegar em f(x) = 1 - 2raizx - 3 :
  1. Translação horizontal: raizx - 3 significa que o gráfico de raizx foi movido 3 unidades para a direita.
  2. Escala vertical: Multiplicar por -2, então -2raizx - 3 faz o gráfico refletir em relação ao eixo x e esticar verticalmente por um fator de 2.
  3. Translação vertical: Adicionar 1, então 1 - 2raizx - 3 move o gráfico 1 unidade para cima.
Resumo das transformações:
  • Move 3 unidades para a direita.
  • Reflete em relação ao eixo x e estica verticalmente.
  • Move 1 unidade para cima.
Teoria aplicada: Transformações de funções envolvem deslocamentos (translações), reflexões e escalas para modificar o gráfico da função básica.

Passo 5

Parte (b): A função f é injetora? Se sim, calcule sua inversa.
Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função é injetora se cada valor de f(x) corresponde a exatamente um valor de x . Ou seja, não há valores de f(x) que se repetem para diferentes x .
Observando a função f(x) = 1 - 2raizx - 3 :
  • A raiz quadrada raizx - 3 sempre dá um valor único para cada x (já que x >= 3 ).
  • Multiplicar por -2 e adicionar 1 não cria repetições.
Então, sim, a função f é injetora.
Encontrando a inversa f^-1(y) :
Vamos resolver y = 1 - 2raizx - 3 para x :
  1. Subtraia 1 de ambos os lados:
y - 1 = -2raizx - 3
  1. Multiplique ambos os lados por -1:
1 - y = 2raizx - 3
  1. Divida ambos os lados por 2:
1 - y2 = raizx - 3
  1. Eleve ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
( 1 - y2 )^2 = x - 3
  1. Adicione 3 a ambos os lados:
x = 3 + ( 1 - y2 )^2
Então, a inversa é:
f^-1(y) = 3 + ( 1 - y2 )^2
Domínio e imagem da inversa:
  • O domínio da inversa é a imagem da função original, que é f(x) <= 1 .
  • A imagem da inversa é o domínio da função original, que é x >= 3 .

Resposta

(a) O domínio de f(x) = 1 - 2raizx - 3 é x >= 3 e a imagem é f(x) <= 1 . O gráfico é obtido aplicando as transformações: mover 3 unidades para a direita, refletir em relação ao eixo x e esticar verticalmente, depois mover 1 unidade para cima.
(b) A função f é injetora. Sua inversa é f^-1(y) = 3 + ( 1 - y2 )^2 , com domínio y <= 1 e imagem x >= 3 .

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