Questão:
(a) Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função
usando transformações na função raiz
.
(b) A função
é injetora? Se sim, calcule sua inversa
explicitando seu domínio e imagem.
(a) Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função
(b) A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função
. A primeira parte (a) quer que a gente encontre o domínio, a imagem e faça um esboço do gráfico usando transformações da função raiz básica
. Para isso, precisamos entender o que é domínio (todos os valores de
que a função aceita) e imagem (todos os valores que a função pode produzir). Também vamos usar transformações como deslocamento e escala para desenhar o gráfico.
Passo 2
Encontrando o domínio:
O domínio da função
depende do que está dentro da raiz quadrada. Sabemos que a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar raiz quadrada de números negativos. Então, temos:
Resolvendo essa desigualdade:
Teoria aplicada: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de
para os quais a função está definida. No caso da raiz quadrada, o que está dentro da raiz precisa ser não-negativo.
Passo 3
Encontrando a imagem:
Agora, vamos ver quais valores
pode assumir. Sabemos que
sempre será maior ou igual a zero, então:
Adicionando 1 a ambos os lados:
Portanto, o valor máximo de
é 1. Como
pode crescer sem limite,
pode diminuir indefinidamente, então:
Teoria aplicada: A imagem da função é o conjunto de todos os valores que a função pode produzir. Aqui, vimos que a função começa em 1 e pode diminuir à medida que
aumenta.
Passo 4
Esboçando o gráfico usando transformações:
Vamos transformar a função básica
passo a passo para chegar em
:
- Translação horizontal:
significa que o gráfico de foi movido 3 unidades para a direita. - Escala vertical: Multiplicar por -2, então
faz o gráfico refletir em relação ao eixo e esticar verticalmente por um fator de 2. - Translação vertical: Adicionar 1, então
move o gráfico 1 unidade para cima.
Resumo das transformações:
- Move 3 unidades para a direita.
- Reflete em relação ao eixo
e estica verticalmente. - Move 1 unidade para cima.
Teoria aplicada: Transformações de funções envolvem deslocamentos (translações), reflexões e escalas para modificar o gráfico da função básica.
Passo 5
Parte (b): A função
é injetora? Se sim, calcule sua inversa.
Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função é injetora se cada valor de
corresponde a exatamente um valor de
. Ou seja, não há valores de
que se repetem para diferentes
.
Observando a função
:
- A raiz quadrada
sempre dá um valor único para cada (já que ). - Multiplicar por -2 e adicionar 1 não cria repetições.
Então, sim, a função
é injetora.
Encontrando a inversa
:
Vamos resolver
para
:
- Subtraia 1 de ambos os lados:
- Multiplique ambos os lados por -1:
- Divida ambos os lados por 2:
- Eleve ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
- Adicione 3 a ambos os lados:
Então, a inversa é:
Domínio e imagem da inversa:
- O domínio da inversa é a imagem da função original, que é
. - A imagem da inversa é o domínio da função original, que é
.
Resposta
(a) O domínio de
é
e a imagem é
. O gráfico é obtido aplicando as transformações: mover 3 unidades para a direita, refletir em relação ao eixo
e esticar verticalmente, depois mover 1 unidade para cima.
(b) A função
é injetora. Sua inversa é
, com domínio
e imagem
.