Questão 4- (1,5 pontos) Dada a equação y(1+cos y)=x, encontre: ( 1 pt ) a derivada da função implícita em um ponto x ;(0,5 pt) A derivada da função implícita no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
y,(1+cos y)=x
e pede a derivada y'=dydx em função de x (usando a derivação implícita) e depois o valor de y' no ponto (0,0). Para isso usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
y,(1+cos y)=x
em relação a x, tratando y como função de x, obtemos
ddxl(y(1+cos y)r) = y',(1+cos y) + y,(-sin y),y' =1

Passo 3

Agrupando os termos com y' e isolando-o, fica
y'l((1+cos y)-ysin yr)=1 Longrightarrow y'=11+cos y - ysin y

Passo 4

No ponto (0,0) temos y=0, logo cos0=1 e sin0=0. Substituindo em
y'=11+cos y - ysin y
vem
y'(0)=11+1-0=12

Resposta

Expressão geral: y' = 11 + cos y - y sin y.\nDerivada no ponto (0,0): y'(0) = tfrac12.

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