Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.
integral duplaR e^x^2+y^2 d A
onde R é dada pela inequação |x|+|y| <= 1.

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaR e^x^2+y^2,dA,
onde R é o losango definido por lvert xrvert+lvert yrvert<=1.
O conteúdo é mudança de variáveis numa integral dupla. Vamos usar uma rotação de 45^circ para transformar o losango num quadrado alinhado aos eixos.

Passo 2

Definimos a rotação
x = dfracu+vraiz2,[6pt] y = dfracu-vraiz2
O Jacobiano vale
|det(D(x,y)D(u,v))| = 1
Além disso
x^2 + y^2 = (u+v)^2 + (u-v)^22 = u^2 + v^2 ]

Passo 3

A condição do losango fica
|x|+|y| <=1 Long<=ftrightarrow |u+v|+|u-v|raiz2<=1
Mas nota-se que |u+v|+|u-v|=2max(|u|,|v|), logo
2max(|u|,|v|)<=raiz2 Long<=ftrightarrow |u|<=1raiz2, |v|<=1raiz2
Assim R vira o quadrado (u,v)mid|u|<=1/raiz2,;|v|<=1/raiz2.

Passo 4

Fazendo a mudança, a integral torna-se
integral dupla|u|<=1/raiz2,;|v|<=1/raiz2 e^u^2+v^2,du,dv =l(integral-1/raiz2^1/raiz2e^u^2,dur) l(integral-1/raiz2^1/raiz2e^v^2,dvr)
Como os fatores são idênticos, escrevemos
I =l(integral-1/raiz2^1/raiz2e^u^2,dur)^2 =l(2integral0^1/raiz2e^u^2,dur)^2
Usando a função erro imaginária
erfi(x)=2raizpiintegral0^xe^t^2dt,
temos
integral0^1/raiz2e^u^2,du =raizpi2,erfi!l(tfrac1raiz2r)

Passo 5

Portanto
I =l(2cdotraizpi2,erfi!l(tfrac1raiz2r)r)^2 =pi;l[erfi!l(tfrac1raiz2r)r]^2

Resposta

integral duplaRe^x^2+y^2,dA =pi;l[erfi!l(tfrac1raiz2r)r]^2

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