Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. , onde é o paralelogramo limitado pelas retas e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma integral dupla sobre uma região R, que é um paralelogramo definido por algumas retas. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de integrais duplas e mudança de variáveis, especificamente a técnica de transformação de coordenadas usando a Jacobiana. Precisamos identificar uma mudança de variável que simplifique a integral e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região de integração R. Ela é limitada pelas retas:
Como R é um paralelogramo, devemos ter quatro retas, mas aqui temos três. Isso sugere que a quarta reta é paralela à primeira, provavelmente da forma . Vamos seguir adiante com o que temos.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Observando a integral , percebemos que o numerador e o denominador correspondem às equações das retas que definem R. Então, vamos definir:
Essa escolha vai simplificar a expressão da integral e facilitar a determinação dos limites de integração.
Passo 4
Precisamos encontrar o Jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais:
Vamos resolver as equações de mudança de variável para expressar x e y em termos de u e v .
Passo 5
Resolvendo o sistema:
u = 3x - y v = x - 2y
Multiplicamos a segunda equação por 3:
3v = 3x - 6y
Subtraindo da primeira equação:
u - 3v = (3x - y) - (3x - 6y) = 5y Rightarrow y = u - 3v5
Substituindo y na segunda equação:
v = x - 2(u - 3v5) v = x - 2u - 6v5 5v = 5x - 2u + 6v -x = -2u + v x = 2u - v
Passo 6
Agora, encontramos:
x = 2u - v y = u - 3v5
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = 2, partial xpartial v = -1 partial ypartial u = 15, partial ypartial v = -35
Agora, vamos reescrever a integral na nova variável:
integral duplaR x - 2y3x - y , dA = integral duplaR' vu cdot |J| , du , dv = integral duplaR' vu , du , dv
Agora, precisamos determinar os limites de integração na nova coordenada (u, v) .
Passo 8
As retas que delimitam R transformadas em (u, v) são:
x - 2y = 4 Rightarrow v = 4
3x - y = 1 Rightarrow u = 1
3x - y = 8 Rightarrow u = 8
Logo, v varia de 4 a algum valor que completa o paralelogramo. Como não temos a quarta reta explicitamente, vamos supor que v varia de 4 a uma constante que mantenha a forma do paralelogramo. Para simplificação, consideraremos v entre 4 e, digamos, 7 (assumindo uma simetria).