Determine o domínio das seguintes funções, cujas leis são dadas abaixo:
f(x)=raiz1x+1-2x-3

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=raiz1x+1-2x-3
Para determinar o domínio precisamos garantir duas coisas simultaneamente:
  1. Nenhum denominador pode ser zero.
  2. O radicando deve ser maior ou igual a zero, pois estamos tomando raiz quadrada de um número real.

Passo 2

Impondo que os denominadores não se anulem, temos:
x+1 neq 0 e x-3 neq 0
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x neq -1 e x neq 3

Passo 3

Agora escrevemos a condição de não negatividade do radicando:
1x+1-2x-3>= 0
Colocando sobre um único denominador (x+1)(x-3), obtemos
(x-3)-2(x+1)(x+1)(x-3)>=0 Longrightarrow -x-5(x+1)(x-3)>=0

Passo 4

Para facilitar, multiplicamos numerador e denominador por -1, o que inverte a desigualdade:
x+5(x+1)(x-3)<= 0
Os pontos críticos dessa desigualdade são as raízes do numerador e as singularidades do denominador:
x=-5, x=-1, x=3
Analisando o sinal de x+5(x+1)(x-3) em cada intervalo determinado por esses pontos, encontramos:
  • Para x<-5: numerador negativo, denominador positivo Rightarrow fração negativa.
  • Em x=-5: a expressão vale zero.
  • Para -5<x<-1: numerador positivo, denominador positivo Rightarrow fração positiva.
  • Para -1<x<3: numerador positivo, denominador negativo Rightarrow fração negativa.
  • Para x>3: numerador positivo, denominador positivo Rightarrow fração positiva.
Queremos x+5(x+1)(x-3)<=0, portanto as faixas válidas são
(-infty,-5]cup(-1,3)

Resposta

O domínio de f é
boxed(-infty,-5];cup;(-1,3)

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