Estude a variação de sinal (f(x)>0, f(x)<0 e f(x)=0) das funções, cujas leis são dadas a seguir:
f(x)=x^2-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede o estudo de variação de sinal da função quadrática
f(x)=x^2-2x+1
Para isso, vamos usar a teoria de equações quadráticas: cálculo do discriminante, fatoração em raízes reais e análise do sinal com base no coeficiente quadrático.

Passo 2

Calculemos o discriminante De<a da forma geral ax^2+bx+c:
a=1, b=-2, c=1,
De<a = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4cdot1cdot1 = 4 - 4 = 0

Passo 3

Como De<a=0, há uma única raiz real (raiz dupla) dada por
x = -b2a = -(-2)2cdot1 = 1
Logo, podemos fatorar
f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

Passo 4

Para determinar o sinal de f(x):
  • O coeficiente a=1 é positivo, então a parábola abre para cima.
  • A forma (x-1)^2 é sempre não-negativa, com valor zero apenas em x=1.
Dessa forma:
  • ,f(x)>0 para todo xneq1.
  • ,f(x)=0 exatamente em x=1.
  • ,f(x)<0 não ocorre para nenhum x.

Resposta

f(x)> 0 para x neq 1.
f(x) =0 em x =1.
f(x)< 0 não existe.

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