Um problema importante na termodinâmica é determinar o trabalho realizado por um motor de Carnot ideal. Um ciclo consiste na expansão alternada e compress紬o de gás em um pistio. 0 trabalho realizado pelo motor é igual à área da regiăo R limitada por duas curvas isotérmicas x y=a, x y=b e duas curvas adiabáticas x y^1,4=c, x y^1,4=d, onde 0<a<b e 0<c<d. Calcule o trabalho realizado determinando a área de R.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R no plano (x,y) limitada pelas isotermas
x,y = a, x,y = b
e pelas adiabáticas
x,y^1,4 = c, x,y^1,4 = d,
com 0<a<b e 0<c<d.
Para calcular essa área, vamos usar mudança de variáveis em integrais duplas e o conceito de Jacobiano.

Passo 2

Definimos as variáveis
u = x,y, v = x,y^1,4
Nesse novo sistema, a região R vira o retângulo
a <= u <= b, c <= v <= d
Assim a área de R será
integral duplaR dx,dy = integral dupla[a,b]times[c,d] l|J(u,v)r|,du,dv,
onde J é o Jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y).

Passo 3

Para achar x e y em função de u,v, note que
u = x,y Longrightarrow x = uy
Substituindo em v = x,y^1,4
v = uy,y^1,4 = u,y^0,4 Longrightarrow y^0,4 = vu Longrightarrow y = l(vur)^1/0,4 = l(vur)^5/2
Então
y = l(tfracvur)^5/2, x = uy = u l(tfracuvr)^5/2 = u^7/2v^5/2

Passo 4

Calculamos o Jacobiano
J = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v
Após derivar e simplificar, obtém-se
l|J(u,v)r| = 52,1v ]

Passo 5

A área é
integral duplaRdx,dy = integralu=a^b!!integralv=c^d 52,1v;dv,du = 52!integrala^b!l[ln(v)r]v=c^v=d,du = 52,(b-a),ln!dc

Resposta

boxedÁrea(R)=52,(b-a),lndc Á

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