Um problema importante na termodinâmica é determinar o trabalho realizado por um motor de Carnot ideal. Um ciclo consiste na expansão alternada e compress紬o de gás em um pistio. 0 trabalho realizado pelo motor é igual à área da regiăo limitada por duas curvas isotérmicas e duas curvas adiabáticas , onde e . Calcule o trabalho realizado determinando a área de .
Passo 1
O enunciado pede a área da região no plano limitada pelas isotermas
e pelas adiabáticas
com e .
Para calcular essa área, vamos usar mudança de variáveis em integrais duplas e o conceito de Jacobiano.
Passo 2
Definimos as variáveis
Nesse novo sistema, a região vira o retângulo
Assim a área de será
onde J é o Jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y).
Passo 3
Para achar x e y em função de u,v, note que
u = x,y Longrightarrow x = uy
Substituindo em v = x,y^1,4 dá
v = uy,y^1,4 = u,y^0,4 Longrightarrow y^0,4 = vu Longrightarrow y = l(vur)^1/0,4 = l(vur)^5/2
Então
y = l(tfracvur)^5/2, x = uy = u l(tfracuvr)^5/2 = u^7/2v^5/2
Passo 4
Calculamos o Jacobiano
J = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v
Após derivar e simplificar, obtém-se
l|J(u,v)r| = 52,1v ]
Passo 5
A área é
integral duplaRdx,dy = integralu=a^b!!integralv=c^d 52,1v;dv,du = 52!integrala^b!l[ln(v)r]v=c^v=d,du = 52,(b-a),ln!dc