Estude a variação de sinal (f(x)>0, f(x)<0 e f(x)=0) das funções, cujas leis são dadas a seguir:
f(x)=x(2 x-1)x+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da função
f(x)=x(2x-1)x+1
isto é, determinar os conjuntos onde f(x)>0, f(x)<0 e f(x)=0. O conteúdo é estudo de sinal de função racional, que exige encontrar as raízes do numerador, os pontos onde o denominador anula e analisar o sinal de cada fator em intervalos determinados por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f e as raízes do numerador:
  • O denominador anula em x+1=0, logo x=-1 não pertence ao domínio.
  • O numerador x(2x-1)=0 anula em x=0 e em 2x-1=0Rightarrow x=tfrac12.
Portanto
Domínio(f)=Rsetminus-1, f(x)=0 em x=0 e x=tfrac12 í

Passo 3

Ordenamos os pontos críticos que dividem a reta em intervalos:
- infty,;-1,;0,;tfrac12,;+infty

Passo 4

Em cada intervalo, analisamos o sinal de cada fator x, (2x-1) e (x+1):
Para x<-1:
  • x<0 (negativo),
  • 2x-1<0 (negativo),
  • x+1<0 (negativo).
    Logo numerador =(negativo) times(negativo) =positivo e denominador é negativo Rightarrow f(x)<0.
Para -1<x<0:
  • x<0 (negativo),
  • 2x-1<0 (negativo),
  • x+1>0 (positivo).
    Logo numerador positivo e denominador positivo Rightarrow f(x)>0.
Para 0<x<tfrac12:
  • x>0 (positivo),
  • 2x-1<0 (negativo),
  • x+1>0 (positivo).
    Logo numerador negativo e denominador positivo Rightarrow f(x)<0.
Para x>tfrac12:
  • x>0 (positivo),
  • 2x-1>0 (positivo),
  • x+1>0 (positivo).
    Logo numerador positivo e denominador positivo Rightarrow f(x)>0.

Resposta

f(x)>0 em (-1,0)cupl(tfrac12,+inftyr) f(x)<0 em l(-infty,-1r)cupl(0,tfrac12r) f(x)=0 em 0,tfrac12
(Domínio: Rsetminus-1).

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