Calcule a integral
integral0^1 raiz1-x^2 d x
para encontrar uma expressão para pi como a soma de uma série infinita.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral0^1 raiz1 - x^2 , dx
e, a partir daí, obter uma expressão para pi como soma de série infinita. O que vamos usar é (1) a expansão em série de potências de (1 - t)^1/2 e integração termo a termo, e (2) o fato de que I é a área de um quarto de círculo de raio 1 (ou equivalente via substituição trigonométrica).

Passo 2

Para lvert xrvert<1 vale a série binomial
(1 - x^2)^1/2 ;=;sumn=0^inftybinomtfrac12n(-1)^nx^2n,
onde
binomtfrac12n=tfrac12l(tfrac12-1r)l(tfrac12-2r)cdotsl(tfrac12-n+1r)n!
Integrando termo a termo de 0 a 1, como a série converge uniformemente em [0,1], temos
I=integral0^1raiz1-x^2,dx =sumn=0^inftybinomtfrac12n(-1)^nintegral0^1x^2ndx =sumn=0^inftybinomtfrac12n(-1)^n12n+1

Passo 3

Para obter I de outro modo, use x=sintheta, dx=costheta,dtheta, com theta indo de 0 a pi/2. Isso dá
I=integral0^pi/2costheta,costheta,dtheta =integral0^pi/2cos^2theta,dtheta =integral0^pi/21+cos2theta2,dtheta =12l[theta+tfrac12sin2thetar]0^pi/2 =pi4

Passo 4

Comparando as duas expressões para I, obtemos
pi4 =sumn=0^inftybinomtfrac12n(-1)^n2n+1,
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pi =4sumn=0^inftybinomtfrac12n(-1)^n2n+1
Podemos também usar a forma clássica da série de arcsin x em x=1, que leva à expressão em fatoriais:
pi =2sumn=0^infty(2n)!4^n,(n!)^2,(2n+1)

Resposta

pi =4sumn=0^inftybinomtfrac12n(-1)^n2n+1 ou pi =2sumn=0^infty(2n)!4^n(n!)^2(2n+1).

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