Calcule a integral
para encontrar uma expressão para
como a soma de uma série infinita.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
e, a partir daí, obter uma expressão para
como soma de série infinita. O que vamos usar é (1) a expansão em série de potências de
e integração termo a termo, e (2) o fato de que
é a área de um quarto de círculo de raio 1 (ou equivalente via substituição trigonométrica).
Passo 2
Para
vale a série binomial
onde
Integrando termo a termo de
a
, como a série converge uniformemente em
, temos
Passo 3
Para obter
de outro modo, use
,
, com
indo de
a
. Isso dá
Passo 4
Comparando as duas expressões para
, obtemos
logo
Podemos também usar a forma clássica da série de
em
, que leva à expressão em fatoriais: