Determinar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y usando a regra da cadeia:
z=u^2+v^2, u=x^2-y^2, v=e^2 x y

Passo 1

Temos a função z = u^2 + v^2, com u = x^2 - y^2 e v = e^2xy. O conteúdo é derivação parcial usando regra da cadeia, e vamos precisar das derivadas parciais de u e v em relação a x e a y.

Passo 2

Para começar, derivamos u = x^2 - y^2 em relação a x e y:
partial upartial x = 2x,
partial upartial y = -2y

Passo 3

Em seguida, derivamos v = e^2xy. Como é exponencial, usamos dd,t e^g(t) = e^g(t) g'(t). Aqui g(x,y)=2xy, logo:
partial vpartial x = e^2xy cdot partial (2xy)partial x = e^2xy cdot 2y,
partial vpartial y = e^2xy cdot partial (2xy)partial y = e^2xy cdot 2x

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para z = u^2 + v^2:
partial zpartial x = 2u cdot partial upartial x + 2v cdot partial vpartial x,
partial zpartial y = 2u cdot partial upartial y + 2v cdot partial vpartial y

Passo 5

Finalmente, substituímos u, v e as derivadas parciais que encontramos e simplificamos:
partial zpartial x = 2(x^2 - y^2)cdot(2x) + 2e^2xycdot(2y e^2xy) = 4x(x^2 - y^2) + 4y e^4xy,
partial zpartial y = 2(x^2 - y^2)cdot(-2y) + 2e^2xycdot(2x e^2xy) = -4y(x^2 - y^2) + 4x e^4xy

Resposta

partial zpartial x = 4x(x^2 - y^2) + 4y e^4xy, partial zpartial y = -4y(x^2 - y^2) + 4x e^4xy

Exercícios relacionados