Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de sen³x⋅cos²x dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas e vamos usar a identidade de seno e substituição para simplificar.
Passo 2
Observamos que sen³x = sen²x⋅sen x e usamos sen²x = 1−cos²x. Assim o integrando fica (1−cos²x)⋅sen x⋅cos²x, ou seja: ∫ sen³x cos²x dx = ∫ (1−cos²x) cos²x sen x dx.
Passo 3
Fazendo a substituição u = cos x, temos du = −sen x dx, logo sen x dx = −du. Substituindo no integral: ∫(1−u²)u² sen x dx = −∫(1−u²)u² du = −∫(u²−u⁴) du.
Passo 4
Agora integramos em u: −∫(u²−u⁴) du = −(u³/3 − u⁵/5) + C = −u³/3 + u⁵/5 + C.
Passo 5
Voltando à variável original (u = cos x), obtemos o resultado final da integral: −(cos³x)/3 + (cos⁵x)/5 + C.