Calcule a integral.
integral extsen^3 x extcos ^2 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de sen³x⋅cos²x dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas e vamos usar a identidade de seno e substituição para simplificar.

Passo 2

Observamos que sen³x = sen²x⋅sen x e usamos sen²x = 1−cos²x. Assim o integrando fica (1−cos²x)⋅sen x⋅cos²x, ou seja: ∫ sen³x cos²x dx = ∫ (1−cos²x) cos²x sen x dx.

Passo 3

Fazendo a substituição u = cos x, temos du = −sen x dx, logo sen x dx = −du. Substituindo no integral: ∫(1−u²)u² sen x dx = −∫(1−u²)u² du = −∫(u²−u⁴) du.

Passo 4

Agora integramos em u: −∫(u²−u⁴) du = −(u³/3 − u⁵/5) + C = −u³/3 + u⁵/5 + C.

Passo 5

Voltando à variável original (u = cos x), obtemos o resultado final da integral: −(cos³x)/3 + (cos⁵x)/5 + C.

Resposta

-cos^3 x3 + cos^5 x5 + C

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