Calcule a integral.
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função \,x^{3}-2x\,.
  • Os limites de integração são a=-1 (limite inferior) e b=2 (limite superior).
  • A tarefa é retornar o valor numérico da integral definida entre esses limites.

Passo 2

Ideia geral (em palavras simples): uma integral definida \int_{a}^{b} f(x)\,dx pode ser calculada encontrando uma primitiva F(x) de f(x) — isto é, uma função F tal que F'(x)=f(x) — e então avaliando a diferença F(b)-F(a).
Esse resultado é o chamado Teorema Fundamental do Cálculo. Em fórmula:
\text{Se }F'(x)=f(x)\text{ então }\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).ã
Explicação do que é primitiva: uma primitiva de f é qualquer função cuja derivada seja f. Em integrais definidas a constante de integração cancela, por isso basta encontrar uma primitiva qualquer.

Passo 3

Vamos encontrar uma primitiva F(x) para f(x)=x^{3}-2x. Usamos a regra de potência para integrar monômios: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui cada símbolo significa:
  • x é a variável de integração;
  • n é o expoente do monômio;
  • C é a constante de integração (irrelevante para integral definida).
Aplicando termo a termo:
  • Para x^{3}: \displaystyle \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C.
  • Para -2x: primeiro fatoramos a constante: \displaystyle \int -2x\,dx = -2\int x\,dx. Como \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}+C, temos \displaystyle -2\cdot\frac{x^{2}}{2} = -x^{2}.
Somando os dois resultados, uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x^{2}.
(Adicionar +C não é necessário para o cálculo da integral definida.)

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: calcule F(b)-F(a) com b=2 e a=-1.
Calcule F(2):
F(2)=\frac{2^{4}}{4}-2^{2}=\frac{16}{4}-4=4-4=0.
Calcule F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{4}}{4}-(-1)^{2}=\frac{1}{4}-1=\frac{1}{4}-\frac{4}{4}=-\frac{3}{4}.

Passo 5

Subtraindo:
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx = F(2)-F(-1)=0-\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}.
Pequena observação intuitiva: o valor positivo indica que, no balanço entre áreas positivas e negativas da função entre -1 e 2, a área positiva vence por \tfrac{3}{4}. Você está indo bem — essas contas são bem diretas quando a gente separa termo a termo!

Resposta

\dfrac{3}{4}

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