Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - A tarefa é retornar o valor numérico da integral definida entre esses limites.
Passo 2
Ideia geral (em palavras simples): uma integral definida
pode ser calculada encontrando uma primitiva
de
— isto é, uma função
tal que
— e então avaliando a diferença
.
Esse resultado é o chamado Teorema Fundamental do Cálculo. Em fórmula:
Explicação do que é primitiva: uma primitiva de
é qualquer função cuja derivada seja
. Em integrais definidas a constante de integração cancela, por isso basta encontrar uma primitiva qualquer.
Passo 3
Vamos encontrar uma primitiva
para
. Usamos a regra de potência para integrar monômios: para
,
Aqui cada símbolo significa:
-
é a variável de integração; -
é o expoente do monômio; -
é a constante de integração (irrelevante para integral definida).
Aplicando termo a termo:
- Para
: . - Para
: primeiro fatoramos a constante: Como , temos .
Somando os dois resultados, uma primitiva é
(Adicionar
não é necessário para o cálculo da integral definida.)
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: calcule
com
e
.
Calcule
:
Calcule
:
Passo 5
Subtraindo:
Pequena observação intuitiva: o valor positivo indica que, no balanço entre áreas positivas e negativas da função entre
e
, a área positiva vence por
. Você está indo bem — essas contas são bem diretas quando a gente separa termo a termo!