Calcule a integral de linha \int_{C}[x y d x+2 y d y] de x=0 até x=2 sobre a reta y=2 x e, em seguida, avalie a mesma integral de linha ao longo da curva y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \bigl(x\,y\,dx + 2y\,dy\bigr)
ao longo de duas curvas de x=0 até x=2: a reta y=2x e a parábola y=x^2. O método é parametrizar cada curva por t, determinar dx e dy, substituir na integral e integrar de 0 a 2.

Passo 2

Para a reta C_1\colon y=2x, usamos
x=t,\quad y=2t,\quad dx=dt,\quad dy=2\,dt,\quad t\in[0,2].
Então
x\,y\,dx = t\cdot(2t)\,dt = 2t^2\,dt,
2y\,dy = 2\cdot(2t)\cdot(2\,dt) = 8t\,dt,
e a integral torna-se
\int_{0}^{2}\bigl(2t^2 + 8t\bigr)\,dt = \Bigl[\tfrac{2t^3}{3} + 4t^2\Bigr]_{0}^{2} = \tfrac{16}{3} + 16 = \tfrac{64}{3}.

Passo 3

Para a parábola C_2\colon y=x^2, usamos
x=t,\quad y=t^2,\quad dx=dt,\quad dy=2t\,dt,\quad t\in[0,2].
Então
x\,y\,dx = t\cdot t^2\,dt = t^3\,dt,
2y\,dy = 2\cdot t^2\cdot(2t\,dt) = 4t^3\,dt,
e a integral torna-se
\int_{0}^{2}\bigl(t^3 + 4t^3\bigr)\,dt = \int_{0}^{2}5t^3\,dt = \Bigl[\tfrac{5t^4}{4}\Bigr]_{0}^{2} = \tfrac{5\cdot16}{4} =20.

Resposta

Integral sobre y=2x: \tfrac{64}{3}
Integral sobre y=x^2: 20

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