Verifique se as diferenciais dadas são exatas.
Passo 1
O enunciado dá a diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Isso envolve o conteúdo de formas diferenciais exatas e integrais de linha, usando a condição de igualdade dos derivadas parciais mistas.
Passo 2
Vamos identificar as funções
e
tais que
Aqui temos
Passo 3
A condição de exatidão exige que em um domínio simplesmente conexo as funções
e
sejam continuamente diferenciáveis e que
Vamos calcular cada derivada:
Passo 4
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Como
a condição de exatidão está satisfeita em todo o plano
, pois ambas as derivadas coincidem e são contínuas.
Resposta
A diferencial
é exata.