Verifique se as diferenciais dadas são exatas.
d z=y \cos x d x+\operatorname{sen} x d y

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
dz = y\cos x \,dx + \operatorname{sen} x \,dy
e pede para verificar se ela é exata. Isso envolve o conteúdo de formas diferenciais exatas e integrais de linha, usando a condição de igualdade dos derivadas parciais mistas.

Passo 2

Vamos identificar as funções M(x,y) e N(x,y) tais que
dz = M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy.
Aqui temos
M(x,y) = y\cos x, \qquad N(x,y) = \operatorname{sen} x.

Passo 3

A condição de exatidão exige que em um domínio simplesmente conexo as funções M e N sejam continuamente diferenciáveis e que
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos calcular cada derivada:

Passo 4

Derivando M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y\cos x) = \cos x.
Derivando N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\operatorname{sen} x) = \cos x.

Passo 5

Como
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos x \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = \cos x,
a condição de exatidão está satisfeita em todo o plano \mathbb{R}^2, pois ambas as derivadas coincidem e são contínuas.

Resposta

A diferencial dz = y\cos x\,dx + \operatorname{sen} x\,dy é exata.

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