Calcule a integral fazendo uma mudança de variáveis apropriada:
(a)
integral duplaR x-2 y3 x-y d A
onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x-2 y=0, x-2 y=4,3 x-y=1, e 3 x-y=8 ;
(b)
integral duplaR cos (y-xy+x) d A
onde R é a região trapezoidal com vértices (1,0),(2,0)(0,2) e (0,1);
(c)
integral duplaR e^x+y d A
onde R é dada pela inequação |x|+|y| <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais duplas sobre regiões dadas, usando mudança de variáveis adequada em cada caso:
(a) integrando x-2y3x-y num paralelogramo limitado por u=x-2yin[0,4] e v=3x-yin[1,8];
(b) integrando cosl(tfracy-xy+xr) num trapézio cujos vértices são (1,0),(2,0),(0,2),(0,1);
(c) integrando e^x+y na região diamantada lvert xrvert+lvert yrvert<=1.
Em cada caso vamos escolher variáveis u,v que simplifiquem a forma da região e do integrando, calcular o jacobiano e expressar a integral em u,v.

Passo 2

Para (a) tomamos
Então a região em
o jacobiano vale
O integrando fica (\frac{x-2y}{3x-y} = \frac{u}{v}], logo

Passo 3

Para (b) tomamos
u = y - x, v = y + x,
de modo que nos vértices (1,0)to(u,v)=(-1,1), (2,0)to(-2,2), (0,2)to(2,2), (0,1)to(1,1). A região em (u,v) é
1<= v<=2, -v<= u<= v
A inversa é x=(v-u)/2, y=(v+u)/2 e o jacobiano tem valor 1/2. O integrando passa a ser cos(u/v), então
integral duplaR cos!l(tfracy-xy+xr)dA = integralv=1^2!integralu=-v^v cos!l(tfracuvr),12,du,dv
Fazendo a mudança t=u/v, du=v,dt, para cada v
integralu=-v^vcos!l(tfracuvr),du = vintegralt=-1^1cos t,dt =2vsin1
Logo
integral duplaRcdots = 12integral1^22vsin1,dv =sin1integral1^2v,dv =sin1l[tfracv^22r]1^2 =32sin1

Passo 4

Para (c) usamos
u = x + y, v = x - y,
que envia os vértices (1,0)to(1,1), (0,1)to(1,-1), (-1,0)to(-1,-1), (0,-1)to(-1,1); assim a região torna-se o quadrado lvert urvert<=1,;lvert vrvert<=1. A inversa é x=(u+v)/2, y=(u-v)/2 com jacobiano igual a 1/2, e o integrando vale e^u. Portanto
integral duplaR e^x+y,dA = integralu=-1^1!integralv=-1^1 e^u,12,dv,du = 12integral-1^1e^u,duintegral-1^1dv = integral-1^1e^u,du = e - e^-1

Resposta

(a) dfrac85ln8.
(b) tfrac32sin1.
(c) e - e^-1.

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