Calcule a integral fazendo uma mudança de variáveis apropriada:
(a)
onde é o paralelogramo delimitado pelas retas , e
(b)
onde é a região trapezoidal com vértices e ;
(c)
onde é dada pela inequação .
Passo 1
O enunciado pede para calcular três integrais duplas sobre regiões dadas, usando mudança de variáveis adequada em cada caso:
(a) integrando num paralelogramo limitado por e ;
(b) integrando num trapézio cujos vértices são ;
(c) integrando na região diamantada .
Em cada caso vamos escolher variáveis que simplifiquem a forma da região e do integrando, calcular o jacobiano e expressar a integral em .
Passo 2
Para (a) tomamos
Então a região em
o jacobiano vale
O integrando fica (\frac{x-2y}{3x-y} = \frac{u}{v}], logo
Passo 3
Para (b) tomamos
u = y - x, v = y + x,
de modo que nos vértices (1,0)to(u,v)=(-1,1), (2,0)to(-2,2), (0,2)to(2,2), (0,1)to(1,1). A região em (u,v) é
1<= v<=2, -v<= u<= v
A inversa é x=(v-u)/2, y=(v+u)/2 e o jacobiano tem valor 1/2. O integrando passa a ser cos(u/v), então
integral duplaR cos!l(tfracy-xy+xr)dA = integralv=1^2!integralu=-v^v cos!l(tfracuvr),12,du,dv
integral duplaRcdots = 12integral1^22vsin1,dv =sin1integral1^2v,dv =sin1l[tfracv^22r]1^2 =32sin1
Passo 4
Para (c) usamos
u = x + y, v = x - y,
que envia os vértices (1,0)to(1,1), (0,1)to(1,-1), (-1,0)to(-1,-1), (0,-1)to(-1,1); assim a região torna-se o quadrado lvert urvert<=1,;lvert vrvert<=1. A inversa é x=(u+v)/2, y=(u-v)/2 com jacobiano igual a 1/2, e o integrando vale e^u. Portanto
integral duplaR e^x+y,dA = integralu=-1^1!integralv=-1^1 e^u,12,dv,du = 12integral-1^1e^u,duintegral-1^1dv = integral-1^1e^u,du = e - e^-1