Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
;
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área de regiões planas limitadas por curvas dadas. O conteúdo principal aqui é o cálculo de áreas por meio de integrais definidas, comparando as funções para determinar qual é a superior e qual é a inferior (ou, em alguns casos, as fronteiras laterais). Vamos usar tanto integrais em dx quanto em dy conforme apropriado.
Passo 2
Para a) y = x e y = \sqrt[3]{x}, encontramos as interseções resolvendo x = x^{1/3}, que dá x = 0 e x = 1. No intervalo [0,1], \sqrt[3]{x} ≥ x, então
Passo 3
Passo 4
Para b) 3y - x = 8 (ou x = 3y-8) e y = |x|, as interseções são em x = -2 (y = 2) e x = 4 (y = 4). Integramos em x, de -2 a 0 a diferença entre y = -x e y = (x+8)/3, e de 0 a 4 a diferença entre y = x e y = (x+8)/3. Fazendo as contas:
Passo 5
Passo 6
Para c) y = x^{2} - 3x, y = 0 e x = 5. A parábola corta o eixo x em x = 0 e x = 3. De 0 a 3 a parábola está abaixo de zero, e de 3 a 5 acima. Assim:
Passo 7
Passo 8
Para d) y = (x-2)^{2} e y = x, as interseções em x = 1 e x = 4. No intervalo [1,4], a reta está acima da parábola:
Passo 9
Passo 10
Para e) y = |x| e y = x^{2} - 2, as interseções em x = -2 e x = 2. De -2 a 0 integra-se (−x) – (x^{2}-2); de 0 a 2 integra-se x – (x^{2}-2):
Passo 11
Passo 12
Para f) x = 1 - y^{2} e x = y^{2} - 1, as interseções em y = ±1. Para y ∈ [-1,1], a fronteira direita é 1 - y^{2} e a esquerda y^{2} - 1, então
Passo 13
Passo 14
Para g) x = 2y^{2} e x + y = 1 (ou x = 1 - y). As interseções ocorrem em y = -1 e y = 1/2. Para y ∈ [-1,1/2], integra-se (1 - y) - 2y^{2}:
Passo 15
Passo 16
Para h) y = 1/x^{2}, y = x e y = x/8 não há região fechada e limitada por todas as três curvas, pois y = x e y = x/8 só se encontram em x = 0 e a hipérbole não define um laço fechado ali. Logo não existe área finita bem delimitada.
Passo 17
Para i) y = \tan x, y = 2\sin x, x = -\pi/3 a \pi/3. As interseções são em x = -\pi/3, 0 e \pi/3. No intervalo, 2\sin x ≥ \tan x para x ∈ (0,\pi/3), e simetricamente para x negativo. A área é
Passo 18
Passo 19
Todas as áreas foram determinadas pelos cálculos acima.
Resposta
a) 1/4 b) 8 c) 79/6 d) 9/2 e) 20/3 f) 8/3 g) 9/8 h) não existe região limitada finita i) 2 - 2 ln 2