Calcule a integral fazendo a substituição dada.
int x^2raiz2+x^3 d x, u=2+x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de x^2raiz2+x^3 em relação a x, usando a substituição u = 2 + x^3. Isso significa que vamos trocar a variável x por u para facilitar a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é u e como ela se relaciona com x. A substituição dada é u = 2 + x^3. Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x:
du = ddx(2 + x^3) , dx = 3x^2 , dx

Passo 3

Observamos que na integral original temos x^2 , dx, que está presente em du como 3x^2 , dx. Vamos resolver para x^2 , dx:
x^2 , dx = du3

Passo 4

Agora, substituímos u e x^2 , dx na integral original:
integral x^2raiz2+x^3 , dx = integral 1raizu cdot du3 = 13 integral u^-1/2 , du

Passo 5

Vamos integrar u^-1/2 em relação a u. A regra da integração para potências é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aqui, n = -12, então:
integral u^-1/2 , du = u^1/21/2 + C = 2u^1/2 + C

Passo 6

Multiplicamos pelo fator 13 que ficou na frente:
13 cdot 2u^1/2 + C = 23u^1/2 + C

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta em termos de x, lembrando que u = 2 + x^3:
23raiz2 + x^3 + C

Resposta

A integral é igual a 23raiz2 + x^3 + C.

Exercícios relacionados