Calcule a integral fazendo a substituição dada.
int d x(2 x+1)^2, u=2 x+1

Passo 1

Vamos resolver a integral integral dx(2x + 1)^2 usando a substituição u = 2x + 1. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, definimos a substituição u = 2x + 1. Para usar essa substituição, precisamos encontrar a relação entre du e dx. Derivando ambos os lados em relação a x:
dudx = 2 Rightarrow du = 2,dx Rightarrow dx = du2

Passo 3

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral dx(2x + 1)^2 = integral du2u^2 = 12 integral u^-2, du
Aqui, usamos a regra da potência para integrais, que diz que integral u^n, du = u^n+1n+1 + C, desde que n neq -1.

Passo 4

Integrando u^-2:
12 integral u^-2, du = 12 ( -u^-1 ) + C = -12u + C
Finalmente, substituímos u de volta por 2x + 1:
-12(2x + 1) + C

Resposta

-12(2x + 1) + C

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