Dados os conjuntos A e B, os subconjuntos W e Z de B, e a aplicação f: A B. A imagem inversa de W pela função f é o conjunto f^-1(W), formado por todos os pontos x in A tais que f(x) in W. Assim
f^-1(W)=x in A ; f(x) in W
Mostre que f^-1(W cup Z)=f^-1(W) cup f^-1(Z).

Passo 1

O enunciado define a pré-imagem de um subconjunto W subseteq B pela função fcolon A to B como
f^-1(W) = x in A mid f(x) in W
Aqui queremos mostrar que a pré-imagem de uma união de dois subconjuntos W, Z subseteq B satisfaz
f^-1(W cup Z) = f^-1(W) cup f^-1(Z)
O conteúdo usado é a definição de pré-imagem e as propriedades de união em teoria de conjuntos.

Passo 2

Vamos provar primeiro a inclusão
f^-1(Wcup Z)subseteq f^-1(W)cup f^-1(Z)
De fato, seja xin f^-1(Wcup Z). Isso significa, pela definição, que
f(x)in Wcup Z
Mas, por definição de união, temos ou f(x)in W ou f(x)in Z. No primeiro caso xin f^-1(W), e no segundo xin f^-1(Z). Em ambos os casos
xin f^-1(W)cup f^-1(Z),
logo a inclusão está provada.

Passo 3

Agora mostramos a outra inclusão
f^-1(W)cup f^-1(Z)subseteq f^-1(Wcup Z)
Seja xin f^-1(W)cup f^-1(Z). Então xin f^-1(W) ou xin f^-1(Z). No primeiro caso f(x)in Wsubseteq Wcup Z, no segundo f(x)in Zsubseteq Wcup Z. Em ambos
f(x)in Wcup Z,
o que implica xin f^-1(Wcup Z). Assim a segunda inclusão também vale.

Passo 4

Como demonstramos as duas inclusões
f^-1(Wcup Z)subseteq f^-1(W)cup f^-1(Z) e f^-1(W)cup f^-1(Z)subseteq f^-1(Wcup Z),
concluímos que
f^-1(Wcup Z)=f^-1(W)cup f^-1(Z)

Resposta

f^-1(Wcup Z)=f^-1(W)cup f^-1(Z)

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