Dados os conjuntos
e
, os subconjuntos
e
de
, e a aplicação
. A imagem inversa de
pela função
é o conjunto
, formado por todos os pontos
tais que
. Assim
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define a pré-imagem de um subconjunto
pela função
como
Aqui queremos mostrar que a pré-imagem de uma união de dois subconjuntos
satisfaz
O conteúdo usado é a definição de pré-imagem e as propriedades de união em teoria de conjuntos.
Passo 2
Vamos provar primeiro a inclusão
De fato, seja
. Isso significa, pela definição, que
Mas, por definição de união, temos ou
ou
. No primeiro caso
, e no segundo
. Em ambos os casos
logo a inclusão está provada.
Passo 3
Agora mostramos a outra inclusão
Seja
. Então
ou
. No primeiro caso
, no segundo
. Em ambos
o que implica
. Assim a segunda inclusão também vale.
Passo 4
Como demonstramos as duas inclusões
concluímos que