Calcule a integral fazendo a substituição dada.
int x+3(x^2+6 x)^2 d x, u=x^2+6 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x+3l(x^2+6xr)^2,dx
usando a substituição u = x^2+6x. Aqui vamos aplicar o método de substituição em integrais, que consiste em expressar toda a integral em termos de u e du.

Passo 2

Calculamos du a partir de u=x^2+6x. Derivando em relação a x, temos
du = (2x+6),dx = 2(x+3),dx
Logo, podemos isolar
(x+3),dx = du2

Passo 3

Agora reescrevemos a integral inteira em termos de u. Como x^2+6x = u, temos l(x^2+6xr)^2=u^2. Substituindo também (x+3),dx, obtemos
integral x+3l(x^2+6xr)^2,dx = integral 1u^2;du2 = 12 integral u^-2,du

Passo 4

Integramos integral u^-2,du. Sabemos que
integral u^-2,du = integral u^(-2),du = u^-1-1 = -,u^-1
Multiplicando pelo fator tfrac12, fica
12 integral u^-2,du = 12 l(-u^-1r) = -12u + C

Passo 5

Voltando à variável x, lembrando que u = x^2+6x, a antiderivada é
-12u + C = -12,(x^2+6x) + C

Resposta

-12,(x^2+6x) + C

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